※ 引述《spriteeddy (eddy)》之铭言： : 1.年级：高二 : 2.科目：数学 : 3.章节：线性规划 : 4.题目： : {x+y≦10 : 有一线性规画题目，限制条件为{x+ay≦14 ，目标函数为f(x,y)=2x+by， : {x≧0,y≧0,y≦5 : 已知f(x,y)的最大值为24，而且只有发生在(x,y)=(b,c)时，试问b值为_______ : (1)1 (2)2 (3)3 (4)4 (5)5 : 5.想法： : 因为(b,c)是最大值的唯一解，故必发生在端点上，又x轴和y轴上那两个点很明显 : 不符合，所以找x+y=10和x+ay=14的交点(x,y)，又此点应为(b,c)，将b,c用a表示 : 代入f(b,c)=b(2+c) : 但这样求出来的a会有根号，很明显与答案有些差异 : 有哪个地方想错了吗? 麻烦大家指点。 : 谢谢^^ 假设 {x+y≦10 这块区域叫做A {x≧0,y≧0,y≦5 {x+y≦10 这块区域就是B {x+ay≦14 {x≧0,y≧0,y≦5 显然B包含於A 对於(x,y)属於A x≧0 但(x,y)=(b,c)时有最大值 所以b≧0 如果b=0的话 那目标函数就变成2x 由区域A的图形知x+ay=14必须是水平线(但a≠∞矛盾) 所以b>0 x+ay=14这条线有两种情况 (1) x+ay=14和区域A完全没有交点 如果是这样的话 那 A=B 但2x+by的斜率是负的 (因b>0) 所以最大值只有可能发生在(5,5)或(10,0) 代入(10,0)发现2x+by=20不等於24(不合) 代入(5,5)发现(b,c)=(5,5) 且 2*5+5b=24 (b的值矛盾不合) 所以一定不是这种情况 (2) x+ay=14和区域A有交点 如果是这样的话 又有几种情况 1. 最大值发生在x+ay=14 和 x+y=10 的交点 如果是这样的话 那b+c=10 所以最大值发生在(b,10-b) 得 2b+b(10-b)=24 解得 b=6 ±√12 b=6 + √12 合 (可算出a且-1 < -2/b < -1/a 且 c<=5) 若是b=6 - √12 则 c=4 + √12 > 5 (不合) 2. 最大值发生在x+ay=14 和 y=5的交点 如果是这样的话 那(b,c)=(b,5) 得2b+b*5=24 所以 b=24/7 得24/7+5a=14 a=74/35 所以-2/b < -1/a 但这样的话由图形知(24/7,5)就不会是最大值 故不合 所以答案为b=6 + √12 PS如果目标函数改成x+by的话也是类似的讨论方法 解得b=3(不合) or 8(不合) or 4 --

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