作者thousandleaf (千葉傳奇)
看板tutor
標題Re: [解題] 高中 數學 整數論
時間Mon Apr 16 09:57:37 2012
※ 引述《adifdtd (他奶奶的我想畢業阿)》之銘言：
: 1.年級：高一
: 2.科目：數學
: 3.章節：整數論 內容應該是資優數學 (好像是國際環球盃的題目 應該是考國中生)
: 4.題目：
: 若存在一完全平方數之數字和為n，則稱n為好數。
: 問 1~2007有幾個好數？
: 5.想法：
: 這題沒確定答案，我認為是892。 過程: 2007/9 = 223, 223*4 = 892.
: 首先，由於數字和除以9的餘數，會是原數除以9的餘數。
: 故平方數之數字和除以9的餘數只會是0,1,4,7。
: 所以我剩下的問題為: 所有除以9餘0,1,4,7的正整數，是否皆為好數？ (*)
用除9餘數的切入點是不錯的想法
不過不僅 數字和%9 = 原數%9
(1)數字和的數字和 = 原數%9(歸納法)
總之就是一直把他加下去只剩個位數在除以9就是了
EX: 1965%9 = (1+9+6+5)%9 = 21%9 = (2+1)%9 = 3%9 = 3
(2)若原數=axb 則 (a%9)x(b%9)%9 = 原數%9
↑
因兩餘數相乘可能大於9
pf:令a=9n+r1 b=9m+r2 則 原數=(9n+r1)(9m+r2)=81nm+9(mr1+nr2)+r1xr2
不難看出 原數%9 = (r1xr2)%9 = (a%9)x(b%9)%9
我們知道平方數=axa
用(1)：那這個a的數字和的數字和的....反正就是加到最後一定是1~9中某個個位數
用(2)：對照表出場了!!!
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n^2 1 4 9 16 25 36 49 64 81
%9 1 4 0 7 7 0 4 1 0
並無脫出 0 1 4 7的範圍
因此你的答案應該是正確的
鍵盤證明不太好打所以有點簡便請見諒@@
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◆ From: 140.112.252.97
1F：推 adifdtd:對XD (所以我也用高中方法解 高一 同餘數的想法) 04/16 11:25
2F：推 adifdtd:推錯 那是我丟的水球Orz 你的證明也是我看到題目時想的 04/16 11:30
3F：→ adifdtd:但我的意思是 隨便給個70%9=7 問:70會是好數嗎 04/16 11:31
4F：→ thousandleaf:對不起沒想這麼多 我程式寫出來是892沒錯 但他的湊數 04/16 22:41
5F：→ thousandleaf:規則我一時看不出來....SORRY 04/16 22:42
6F：→ thousandleaf:給一下70的最小解：29614^2=876988996.... 04/16 22:43
7F：推 adifdtd:感謝您~ ^^" 04/17 00:23