作者thousandleaf (千叶传奇)
看板tutor
标题Re: [解题] 高中 数学 整数论
时间Mon Apr 16 09:57:37 2012
※ 引述《adifdtd (他奶奶的我想毕业阿)》之铭言：
: 1.年级：高一
: 2.科目：数学
: 3.章节：整数论 内容应该是资优数学 (好像是国际环球盃的题目 应该是考国中生)
: 4.题目：
: 若存在一完全平方数之数字和为n，则称n为好数。
: 问 1~2007有几个好数？
: 5.想法：
: 这题没确定答案，我认为是892。 过程: 2007/9 = 223, 223*4 = 892.
: 首先，由於数字和除以9的余数，会是原数除以9的余数。
: 故平方数之数字和除以9的余数只会是0,1,4,7。
: 所以我剩下的问题为: 所有除以9余0,1,4,7的正整数，是否皆为好数？ (*)
用除9余数的切入点是不错的想法
不过不仅 数字和%9 = 原数%9
(1)数字和的数字和 = 原数%9(归纳法)
总之就是一直把他加下去只剩个位数在除以9就是了
EX: 1965%9 = (1+9+6+5)%9 = 21%9 = (2+1)%9 = 3%9 = 3
(2)若原数=axb 则 (a%9)x(b%9)%9 = 原数%9
↑
因两余数相乘可能大於9
pf:令a=9n+r1 b=9m+r2 则 原数=(9n+r1)(9m+r2)=81nm+9(mr1+nr2)+r1xr2
不难看出 原数%9 = (r1xr2)%9 = (a%9)x(b%9)%9
我们知道平方数=axa
用(1)：那这个a的数字和的数字和的....反正就是加到最後一定是1~9中某个个位数
用(2)：对照表出场了!!!
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n^2 1 4 9 16 25 36 49 64 81
%9 1 4 0 7 7 0 4 1 0
并无脱出 0 1 4 7的范围
因此你的答案应该是正确的
键盘证明不太好打所以有点简便请见谅@@
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.252.97
1F：推 adifdtd:对XD (所以我也用高中方法解 高一 同余数的想法) 04/16 11:25
2F：推 adifdtd:推错 那是我丢的水球Orz 你的证明也是我看到题目时想的 04/16 11:30
3F：→ adifdtd:但我的意思是 随便给个70%9=7 问:70会是好数吗 04/16 11:31
4F：→ thousandleaf:对不起没想这麽多 我程式写出来是892没错 但他的凑数 04/16 22:41
5F：→ thousandleaf:规则我一时看不出来....SORRY 04/16 22:42
6F：→ thousandleaf:给一下70的最小解：29614^2=876988996.... 04/16 22:43
7F：推 adifdtd:感谢您~ ^^" 04/17 00:23