※ 引述《SJOKER (高斯教授)》之銘言： : ※ 引述《nasada12 (NASA)》之銘言： : : 1.年級： 高一 : : 2.科目： 數 : : 3.章節： 多項式 : : 4.題目： : : 設三次多項式f(x)=(x-1)g(x)，g(x)=ax^2+bx+c，a.b.c為實數 : : 若a。f(0)>0，f(3)<0，f(5)>0，則下列哪些選項正確? : : (A) a<0 : : (B) b<0 : : (C) c<0 : : (D) 5a+b>0 : : (E) a+b+c<0 : : 答案 CDE : : 5.想法： : : a(-1)g(0)>0 得 ac<0 : : 2g(3)<0 得 9a+3b+c<0 : : 4g(4)>0 得 16a+4b+c>0 : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 此處應為4g(5)>0 得 25a+5b+c>0 (雖然並未用到) : : f(1)=0g(1)=0 : : 這題感覺有點刁鑽，我沒用嚴謹的解法，而是很不可靠的觀察 : : ac<0 所以要馬a正c負，要馬a負c正 : : 然後比較第二行第三行，發現a增加很多，讓整體算式從負的變正的 : : 16a+4b+c-(9a+3b+c)=7a+b : : 因此a大概是正的吧??? (甚麼邏輯XD) : : 所以c<0 : : 然後g(1)可能會是任意數... 所以... : : (腦子已經變漿糊了.....) : : 在猜想說這題是不是要用到 d(x)[f(x) 且 d(x)[g(x) 則 d(x)[mf(x)+ng(x) : : 為了逃避報告而算數學反而遇到另個障礙 \⊙▽⊙/! : 提供一個想法,如有錯誤還請不吝指正: : 假設g(x) = 0 有兩個根 m 與 n : f(3) < 0 且 f(5) > 0 , 表示3~5中間有一個實根屬於g(x) , 令其為 m : 另外x = 1也是f(x)的其中一個實根,再引用原po所討論之ac < 0 : 可轉換為 c/a < 0 , 這表示g(x)的兩根乘積 < 0 , 也就是另一根 n < 0 : 由於對f(x)而言已確定三個實根,且f(5) > 0 , 表示首項係數 a > 0 ... (A)錯 : 於是 c < 0 ... (C)對 : 另外由於g(x)開口向上,且兩根一正一負,故g(1)必 < 0 (兩根之間在x軸以下) : 所以a + b + c < 0 ... (E)對 : 最後,因為g(x)的兩根之和 m + n < 5 (因為m < 5 且 n < 0), 所以-b/a < 5 : 整理可得5a + b > 0 ... (D)對 : 而(B)選項b的正負無法判斷,我們可以取f(x) = (x+5)(x-1)(x-4) , 此時有 : g(x) = x^2 + x -20 , b > 0 : 僅供參考 我認為b的正負是可判斷的，理由如下 f(3) = 2(9a+3b+c) < 0, f(5) = 4(25a+5b+c) > 0 => 25a+5b+c > 9a+3b+c => 16a+2b > 0 => 8a+b>0 ...(1) f(2) = 4a+2b+c < 0, f(5) = 4(25a+5b+c) > 0 => 25a+5b+c > 4a+2b+c => 21a+3b > 0 => 7a+b>0 ...(2) (1)+(2): 15a+2b>0 => 5a + 2b/3 > 0 => 5a + b > b/3 > 0 => b > 0 --

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