※ 引述《SJOKER (高斯教授)》之铭言： : ※ 引述《nasada12 (NASA)》之铭言： : : 1.年级： 高一 : : 2.科目： 数 : : 3.章节： 多项式 : : 4.题目： : : 设三次多项式f(x)=(x-1)g(x)，g(x)=ax^2+bx+c，a.b.c为实数 : : 若a。f(0)>0，f(3)<0，f(5)>0，则下列哪些选项正确? : : (A) a<0 : : (B) b<0 : : (C) c<0 : : (D) 5a+b>0 : : (E) a+b+c<0 : : 答案 CDE : : 5.想法： : : a(-1)g(0)>0 得 ac<0 : : 2g(3)<0 得 9a+3b+c<0 : : 4g(4)>0 得 16a+4b+c>0 : ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ : 此处应为4g(5)>0 得 25a+5b+c>0 (虽然并未用到) : : f(1)=0g(1)=0 : : 这题感觉有点刁钻，我没用严谨的解法，而是很不可靠的观察 : : ac<0 所以要马a正c负，要马a负c正 : : 然後比较第二行第三行，发现a增加很多，让整体算式从负的变正的 : : 16a+4b+c-(9a+3b+c)=7a+b : : 因此a大概是正的吧??? (甚麽逻辑XD) : : 所以c<0 : : 然後g(1)可能会是任意数... 所以... : : (脑子已经变浆糊了.....) : : 在猜想说这题是不是要用到 d(x)[f(x) 且 d(x)[g(x) 则 d(x)[mf(x)+ng(x) : : 为了逃避报告而算数学反而遇到另个障碍 \⊙▽⊙/! : 提供一个想法,如有错误还请不吝指正: : 假设g(x) = 0 有两个根 m 与 n : f(3) < 0 且 f(5) > 0 , 表示3~5中间有一个实根属於g(x) , 令其为 m : 另外x = 1也是f(x)的其中一个实根,再引用原po所讨论之ac < 0 : 可转换为 c/a < 0 , 这表示g(x)的两根乘积 < 0 , 也就是另一根 n < 0 : 由於对f(x)而言已确定三个实根,且f(5) > 0 , 表示首项系数 a > 0 ... (A)错 : 於是 c < 0 ... (C)对 : 另外由於g(x)开口向上,且两根一正一负,故g(1)必 < 0 (两根之间在x轴以下) : 所以a + b + c < 0 ... (E)对 : 最後,因为g(x)的两根之和 m + n < 5 (因为m < 5 且 n < 0), 所以-b/a < 5 : 整理可得5a + b > 0 ... (D)对 : 而(B)选项b的正负无法判断,我们可以取f(x) = (x+5)(x-1)(x-4) , 此时有 : g(x) = x^2 + x -20 , b > 0 : 仅供参考 我认为b的正负是可判断的，理由如下 f(3) = 2(9a+3b+c) < 0, f(5) = 4(25a+5b+c) > 0 => 25a+5b+c > 9a+3b+c => 16a+2b > 0 => 8a+b>0 ...(1) f(2) = 4a+2b+c < 0, f(5) = 4(25a+5b+c) > 0 => 25a+5b+c > 4a+2b+c => 21a+3b > 0 => 7a+b>0 ...(2) (1)+(2): 15a+2b>0 => 5a + 2b/3 > 0 => 5a + b > b/3 > 0 => b > 0 --

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