作者allirog (降子搖)
看板tutor
標題[求助] 平面座標轉空間座標問題
時間Tue Mar 13 16:03:36 2012
各位高手好
小弟我在教高二圓與球的時候被學生問到了一個問題
可是我怎麼想都想不出來 希望有人能幫我解惑
問題大概是說
有沒有辦法從直角坐標系上的相對位置 算出對應球上的座標??
例如有一個平面上的圖形 圖形中有給你 A B 兩座標
A B分別對應到一個已知半徑的球上的a b兩點
如果現在給你平面上C點的座標
有辦法算出球上對應的座標嗎??
我聽到題目後第一個想到的是投影
但後來又不知道該如何再下去
後來有想到用向量+旋轉去算
可是還是卡住了
所以來這邊問問看
有沒有人有甚麼想法呢?
感謝!!
--
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◆ From: 61.219.224.138
1F：推 Isatis:聽這敘述似乎像是從一幅地圖的點對應到地球上的點... 03/13 16:07
2F：→ Isatis:比較不太像是投影相關的東西 03/13 16:07
3F：→ Isatis:如果是這樣的話那這和製作這地圖的投影法有關 03/13 16:07
5F：→ nomorethings:能投出同樣a b c的球並不唯一,所以... 03/13 22:03
6F：→ linijay:原文中連怎麼「對應」都沒說。不過我覺得應該可以用直線的 03/14 16:06
7F：→ linijay:參數式代入球的方程式去算吧。 03/14 16:07
8F：→ jollic:這問題其實就是微分幾何一開始在學的東西，如何將一個三維 03/14 16:09
9F：→ jollic:的曲面用二維座標來表示。而事實上，表示方法並不唯一看你 03/14 16:10
10F：→ jollic:想用什麼角度去看，以這個例子，垂直投影不太可行，因為上 03/14 16:11
11F：→ jollic:半球跟下半球各有一個點為投影在同一個地方。用一個最簡單 03/14 16:11
12F：→ jollic:的方法就是利用球面座標時會看到的(θ,φ)去參數三維球。 03/14 16:13
我重新說一下題目好了
現在有一個不規則圖形(平面、簡稱A)，
和一個已知半徑的球(立體、簡稱B)
A上有兩個點 P(x1,y1) Q(x2,y2)
且B上有對應的兩個點 P'(x1',y1',z1') Q'(x1',y1',z1')
(極座標，非球體座標) (P' Q'皆在球上)
他們的對應是從一個未知的角度投影下產生的
現在如果告訴你 A 上有一點 R(x3,y3)
請問有辦法算出他在 B 上的座標嗎?
jol大有提到用球體座標當參數?
不好意思小弟愚笨，可不可以說明白一點呢?
13F：→ linijay:小弟愚昧還是看不懂你的題目。我問好了，從「一個」角度 03/14 17:51
14F：→ linijay:投影，意思是每個投影都是同一個角度嗎? 那A上的點在球上 03/14 17:52
15F：→ linijay:未必有投影點喔。另外，你說的A是xy平面嗎?。第三，極坐標 03/14 17:54
16F：→ linijay:只能用在平面(wiki說的啦~)，你是不是想說是直角座標? 03/14 17:55
1.三個點都是由同一個角度投影下所得到的
只是角度是未知
2. A是XY平面 B是空間直角座標
17F：推 alamabarry:向量 如何? 03/14 21:45
18F：→ alamabarry:OC=sOA+tOB 知道st 空間就可以用了 03/14 21:46
19F：推 alamabarry:原來有解釋題目@@可是看完更不懂了 03/14 21:49
20F：→ jollic:大概懂原PO的意思，簡言之現在存在一個mapping f:R^3-->R^2 03/14 22:12
21F：→ jollic:修正，上面R^3改為S^2 03/14 22:13
22F：→ jollic:給定兩個X,Y屬於S^2，並給出f(X)及f(Y)的值，假若給定一個 03/14 22:15
23F：→ jollic:a屬於R^2，試求出A屬於S^2，使得f(A)=a 03/14 22:16
24F：→ jollic:因為上述之f其實可以找到不少，因此假若你沒特定給f一些條 03/14 22:39
25F：→ jollic:件或性質，如線性轉換等等，我想簡直就是沒辦法求f(A)=a 03/14 22:39
不知道 S^2 為一個球算不算條件?!
現在已知的部分就如同題目所說
有一個圖形 一個球 2個對應的點 還是有甚麼隱藏的性質我沒注意到?!
26F：→ linijay:我就是在問j大問的東西，你要說清楚你的對應(f)是什麼 03/15 07:28
27F：→ linijay:別說你這看似複雜(?)的題目，就說簡單的y=ax^2+bx+c，是 03/15 07:29
28F：→ linijay:直線對應到直線(實數對應到實數)，也必須是在「已知」是 03/15 07:29
29F：→ linijay:x的二次多項式對應到y，又最多需要「已知」3個(3點)對應， 03/15 07:30
30F：→ linijay:你才能確定其他點的對應。你的題目中認為有兩個對應就能確 03/15 07:31
31F：→ linijay:定第三點，這表示你心裡已經認為這是線性的對應，可是你自 03/15 07:33
32F：→ linijay:己好像也說不出個所以然來。 03/15 07:33
抱歉是我表達上讓你們誤會
我覺得他們應該不是線性關係
而只是很直觀的 立體 -> 平面的投影 (或透視?!)
現在是要用已知投影出來的點 去推算他在空間中的座標
我想這可能是我要問的
也許他們有一個線性關係 也許沒有
所以我們在已知條件有限的情況下 還能推算出第三點的座標嗎?
抱歉一直誤導大家ˊˋ
33F：→ jollic:其實投影就是一種線性轉換 03/15 10:48
34F：→ linijay:同一角度投影那就簡單啦，PP'跟QQ'是平行的，??'也平行PP' 03/15 11:54
35F：→ linijay:用PP'求出向量作為直線的方向量，以此向量和新點參數式， 03/15 11:55
36F：→ linijay:參數式代到球方程式就完事啦。不過大部分的點是沒有投影的 03/15 11:56
37F：→ linijay:而有投影的大部分有兩個解。 03/15 11:57
38F：→ linijay:只需要已知一組對應，連QQ'都不需要了。 03/15 11:57
嗯哼 謝謝Lin大 大概有點懂
那請問如果那個 平面A 和球不屬於同一個座標系呢?(就是原點不一樣)
一樣也可以用直線參數式嗎
39F：→ linijay:抱歉我的程度只到這裡，你的新問題看其他大大的說法吧 03/15 14:23
40F：→ linijay:但若A和球在同一個坐標系，但A不是xy平面，方法是一樣的。 03/15 14:37
有辦法先做 座標系旋轉 + 平移 然後再做投影嗎?
41F：→ jollic:就已經是不同的座標系了，怎麼還有辦法利用旋轉平移變成同 03/15 16:56
42F：→ jollic:一個座標系。我相信你的意思應該是指平面A不是xy平面，而是 03/15 16:57
43F：→ jollic:某個ax+by+cz=d的空間平面，那這樣的話，他們還是同一個座 03/15 16:58
44F：→ jollic:標系。 03/15 16:59
45F：→ linijay:只是提醒一下，我的方法不能解樓主在math板貼的題目，因為 03/15 17:25
46F：→ linijay:那邊的題目P和Q的投影顯然不是「同一個角度」作出來的。 03/15 17:25
47F：→ linijay:恕直言，我覺得你連你想說什麼都沒有搞清楚，先思考一下吧 03/15 17:26
抱歉 是我的表達能力有問題
MATH板上的問題和這裡的是同一題
所以都是由P Q同一個角度看過去
48F：→ jollic:非常同意樓上。 03/15 17:37
49F：→ jollic:反正跟你說，你想解general case，就請想我推文說的那樣。 03/15 17:38
座標系的問題 應該是我的認知有誤
再給我一次機會>"< 意思是說
"假設" 現在是從平行 球上的P 和球存在的這個座標系的 原點 的方向
也就是 OP 去看 會看到 P' Q'
就有點像拍照 從OP的方向去拍 得到的照片是一個平面
然後拿那個照片當作2維直角坐標
這樣照片上的座標 和 球的空間座標 應該屬於兩個不同的座標系吧?
所以說兩個不同的座標系不能經由旋轉或平移讓他們重合瞜?!
"如果"可以的話 是不是可以用Lin大說的方法找出對應呢?
※ 編輯: allirog 來自: 58.114.220.168 (03/15 23:48)
50F：→ jollic:你都說像拍照那樣看過去，那不就是垂直投影，不就跟lin說的 03/16 02:49
51F：→ jollic:一模一樣... 03/16 02:50
52F：→ jollic:你拍下的照片那裏面的平面，就是原座標系裡面的一個平面阿 03/16 02:51
53F：→ jollic:我甚至還能算給你看，因那平面會通過圓心，法向量就是OP 03/16 02:52
54F：→ jollic:你學過三重積分嗎?其中有一個部份會教Jacobine吧，裡面就有 03/16 02:56
55F：→ jollic:用球面座標的轉換吧，那地方不就是把(x,y,z)-->(r,θ,φ) 03/16 02:57
56F：→ jollic:如果r是已知，那就變成一個三維轉成二維的例子了，你會發現 03/16 02:58
57F：→ jollic:那兩個座標系就真的是不同的東西，你根本不能合在一起。 03/16 02:59
58F：→ jollic:上面那句話說得不是很好，但是意思差不多差不多 03/16 03:01
59F：→ jollic:當然，如果你是說把你手上的那張照片放在桌上，對它畫xy軸 03/16 03:03
60F：→ jollic:，以此在照片上各個點得出一個新座標(x',y')，那的確就是新 03/16 03:07
61F：→ jollic:的座標系，而兩個空間維度就不同了，是要怎麼讓他們重合 03/16 03:13
我說的是後者 以照片上各點得一個新的座標
題目說的 A 就是照片 A上的 P' Q'就是照片上的座標
那這樣得到的新座標 和球所存在的座標系上的x y應該是不一樣的?!
題目的 P'應該是說
球的垂直投影是到一個空間中的未知平面
然後以那個平面當作XY平面 重新繪製出一個新的座標系
則 P'點的 x 、 y 是這個新座標系上的x y
Q'也是這樣得來的
那我現在的想法是
如果要從新座標系 A上的某個點 去推算原來的B上的點的話
應該是要先算出 新座標系的點對應未知平面(投影面)的點
然後從未知平面的點對應B上的點
這個想法不知在邏輯上有沒有問題?!
可是我覺得這樣解問題很大 因為那個未知投影面算不出來
就算我們知道法向量 但沒面上一點的話 好像沒辦法算出面?!
沒辦法算出面的話 就沒辦求出對應
那如果不去求投影面的話
有沒有辦法從P' Q' P Q 他們的相對關係
用向量的旋轉 平移
去找出另外一個點呢?
※ 編輯: allirog 來自: 60.250.105.55 (03/16 10:05)
62F：→ jollic:我不跟你說那個投影平面會通過球心 03/16 16:19
63F：→ allirog:抱歉是我蠢了= = 03/16 18:01