作者allirog (降子摇)
看板tutor
标题[求助] 平面座标转空间座标问题
时间Tue Mar 13 16:03:36 2012
各位高手好
小弟我在教高二圆与球的时候被学生问到了一个问题
可是我怎麽想都想不出来 希望有人能帮我解惑
问题大概是说
有没有办法从直角坐标系上的相对位置 算出对应球上的座标??
例如有一个平面上的图形 图形中有给你 A B 两座标
A B分别对应到一个已知半径的球上的a b两点
如果现在给你平面上C点的座标
有办法算出球上对应的座标吗??
我听到题目後第一个想到的是投影
但後来又不知道该如何再下去
後来有想到用向量+旋转去算
可是还是卡住了
所以来这边问问看
有没有人有甚麽想法呢?
感谢!!
--
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◆ From: 61.219.224.138
1F：推 Isatis:听这叙述似乎像是从一幅地图的点对应到地球上的点... 03/13 16:07
2F：→ Isatis:比较不太像是投影相关的东西 03/13 16:07
3F：→ Isatis:如果是这样的话那这和制作这地图的投影法有关 03/13 16:07
5F：→ nomorethings:能投出同样a b c的球并不唯一,所以... 03/13 22:03
6F：→ linijay:原文中连怎麽「对应」都没说。不过我觉得应该可以用直线的 03/14 16:06
7F：→ linijay:参数式代入球的方程式去算吧。 03/14 16:07
8F：→ jollic:这问题其实就是微分几何一开始在学的东西，如何将一个三维 03/14 16:09
9F：→ jollic:的曲面用二维座标来表示。而事实上，表示方法并不唯一看你 03/14 16:10
10F：→ jollic:想用什麽角度去看，以这个例子，垂直投影不太可行，因为上 03/14 16:11
11F：→ jollic:半球跟下半球各有一个点为投影在同一个地方。用一个最简单 03/14 16:11
12F：→ jollic:的方法就是利用球面座标时会看到的(θ,φ)去参数三维球。 03/14 16:13
我重新说一下题目好了
现在有一个不规则图形(平面、简称A)，
和一个已知半径的球(立体、简称B)
A上有两个点 P(x1,y1) Q(x2,y2)
且B上有对应的两个点 P'(x1',y1',z1') Q'(x1',y1',z1')
(极座标，非球体座标) (P' Q'皆在球上)
他们的对应是从一个未知的角度投影下产生的
现在如果告诉你 A 上有一点 R(x3,y3)
请问有办法算出他在 B 上的座标吗?
jol大有提到用球体座标当参数?
不好意思小弟愚笨，可不可以说明白一点呢?
13F：→ linijay:小弟愚昧还是看不懂你的题目。我问好了，从「一个」角度 03/14 17:51
14F：→ linijay:投影，意思是每个投影都是同一个角度吗? 那A上的点在球上 03/14 17:52
15F：→ linijay:未必有投影点喔。另外，你说的A是xy平面吗?。第三，极坐标 03/14 17:54
16F：→ linijay:只能用在平面(wiki说的啦~)，你是不是想说是直角座标? 03/14 17:55
1.三个点都是由同一个角度投影下所得到的
只是角度是未知
2. A是XY平面 B是空间直角座标
17F：推 alamabarry:向量 如何? 03/14 21:45
18F：→ alamabarry:OC=sOA+tOB 知道st 空间就可以用了 03/14 21:46
19F：推 alamabarry:原来有解释题目@@可是看完更不懂了 03/14 21:49
20F：→ jollic:大概懂原PO的意思，简言之现在存在一个mapping f:R^3-->R^2 03/14 22:12
21F：→ jollic:修正，上面R^3改为S^2 03/14 22:13
22F：→ jollic:给定两个X,Y属於S^2，并给出f(X)及f(Y)的值，假若给定一个 03/14 22:15
23F：→ jollic:a属於R^2，试求出A属於S^2，使得f(A)=a 03/14 22:16
24F：→ jollic:因为上述之f其实可以找到不少，因此假若你没特定给f一些条 03/14 22:39
25F：→ jollic:件或性质，如线性转换等等，我想简直就是没办法求f(A)=a 03/14 22:39
不知道 S^2 为一个球算不算条件?!
现在已知的部分就如同题目所说
有一个图形 一个球 2个对应的点 还是有甚麽隐藏的性质我没注意到?!
26F：→ linijay:我就是在问j大问的东西，你要说清楚你的对应(f)是什麽 03/15 07:28
27F：→ linijay:别说你这看似复杂(?)的题目，就说简单的y=ax^2+bx+c，是 03/15 07:29
28F：→ linijay:直线对应到直线(实数对应到实数)，也必须是在「已知」是 03/15 07:29
29F：→ linijay:x的二次多项式对应到y，又最多需要「已知」3个(3点)对应， 03/15 07:30
30F：→ linijay:你才能确定其他点的对应。你的题目中认为有两个对应就能确 03/15 07:31
31F：→ linijay:定第三点，这表示你心里已经认为这是线性的对应，可是你自 03/15 07:33
32F：→ linijay:己好像也说不出个所以然来。 03/15 07:33
抱歉是我表达上让你们误会
我觉得他们应该不是线性关系
而只是很直观的 立体 -> 平面的投影 (或透视?!)
现在是要用已知投影出来的点 去推算他在空间中的座标
我想这可能是我要问的
也许他们有一个线性关系 也许没有
所以我们在已知条件有限的情况下 还能推算出第三点的座标吗?
抱歉一直误导大家ˊˋ
33F：→ jollic:其实投影就是一种线性转换 03/15 10:48
34F：→ linijay:同一角度投影那就简单啦，PP'跟QQ'是平行的，??'也平行PP' 03/15 11:54
35F：→ linijay:用PP'求出向量作为直线的方向量，以此向量和新点参数式， 03/15 11:55
36F：→ linijay:参数式代到球方程式就完事啦。不过大部分的点是没有投影的 03/15 11:56
37F：→ linijay:而有投影的大部分有两个解。 03/15 11:57
38F：→ linijay:只需要已知一组对应，连QQ'都不需要了。 03/15 11:57
嗯哼 谢谢Lin大 大概有点懂
那请问如果那个 平面A 和球不属於同一个座标系呢?(就是原点不一样)
一样也可以用直线参数式吗
39F：→ linijay:抱歉我的程度只到这里，你的新问题看其他大大的说法吧 03/15 14:23
40F：→ linijay:但若A和球在同一个坐标系，但A不是xy平面，方法是一样的。 03/15 14:37
有办法先做 座标系旋转 + 平移 然後再做投影吗?
41F：→ jollic:就已经是不同的座标系了，怎麽还有办法利用旋转平移变成同 03/15 16:56
42F：→ jollic:一个座标系。我相信你的意思应该是指平面A不是xy平面，而是 03/15 16:57
43F：→ jollic:某个ax+by+cz=d的空间平面，那这样的话，他们还是同一个座 03/15 16:58
44F：→ jollic:标系。 03/15 16:59
45F：→ linijay:只是提醒一下，我的方法不能解楼主在math板贴的题目，因为 03/15 17:25
46F：→ linijay:那边的题目P和Q的投影显然不是「同一个角度」作出来的。 03/15 17:25
47F：→ linijay:恕直言，我觉得你连你想说什麽都没有搞清楚，先思考一下吧 03/15 17:26
抱歉 是我的表达能力有问题
MATH板上的问题和这里的是同一题
所以都是由P Q同一个角度看过去
48F：→ jollic:非常同意楼上。 03/15 17:37
49F：→ jollic:反正跟你说，你想解general case，就请想我推文说的那样。 03/15 17:38
座标系的问题 应该是我的认知有误
再给我一次机会>"< 意思是说
"假设" 现在是从平行 球上的P 和球存在的这个座标系的 原点 的方向
也就是 OP 去看 会看到 P' Q'
就有点像拍照 从OP的方向去拍 得到的照片是一个平面
然後拿那个照片当作2维直角坐标
这样照片上的座标 和 球的空间座标 应该属於两个不同的座标系吧?
所以说两个不同的座标系不能经由旋转或平移让他们重合瞜?!
"如果"可以的话 是不是可以用Lin大说的方法找出对应呢?
※ 编辑: allirog 来自: 58.114.220.168 (03/15 23:48)
50F：→ jollic:你都说像拍照那样看过去，那不就是垂直投影，不就跟lin说的 03/16 02:49
51F：→ jollic:一模一样... 03/16 02:50
52F：→ jollic:你拍下的照片那里面的平面，就是原座标系里面的一个平面阿 03/16 02:51
53F：→ jollic:我甚至还能算给你看，因那平面会通过圆心，法向量就是OP 03/16 02:52
54F：→ jollic:你学过三重积分吗?其中有一个部份会教Jacobine吧，里面就有 03/16 02:56
55F：→ jollic:用球面座标的转换吧，那地方不就是把(x,y,z)-->(r,θ,φ) 03/16 02:57
56F：→ jollic:如果r是已知，那就变成一个三维转成二维的例子了，你会发现 03/16 02:58
57F：→ jollic:那两个座标系就真的是不同的东西，你根本不能合在一起。 03/16 02:59
58F：→ jollic:上面那句话说得不是很好，但是意思差不多差不多 03/16 03:01
59F：→ jollic:当然，如果你是说把你手上的那张照片放在桌上，对它画xy轴 03/16 03:03
60F：→ jollic:，以此在照片上各个点得出一个新座标(x',y')，那的确就是新 03/16 03:07
61F：→ jollic:的座标系，而两个空间维度就不同了，是要怎麽让他们重合 03/16 03:13
我说的是後者 以照片上各点得一个新的座标
题目说的 A 就是照片 A上的 P' Q'就是照片上的座标
那这样得到的新座标 和球所存在的座标系上的x y应该是不一样的?!
题目的 P'应该是说
球的垂直投影是到一个空间中的未知平面
然後以那个平面当作XY平面 重新绘制出一个新的座标系
则 P'点的 x 、 y 是这个新座标系上的x y
Q'也是这样得来的
那我现在的想法是
如果要从新座标系 A上的某个点 去推算原来的B上的点的话
应该是要先算出 新座标系的点对应未知平面(投影面)的点
然後从未知平面的点对应B上的点
这个想法不知在逻辑上有没有问题?!
可是我觉得这样解问题很大 因为那个未知投影面算不出来
就算我们知道法向量 但没面上一点的话 好像没办法算出面?!
没办法算出面的话 就没办求出对应
那如果不去求投影面的话
有没有办法从P' Q' P Q 他们的相对关系
用向量的旋转 平移
去找出另外一个点呢?
※ 编辑: allirog 来自: 60.250.105.55 (03/16 10:05)
62F：→ jollic:我不跟你说那个投影平面会通过球心 03/16 16:19
63F：→ allirog:抱歉是我蠢了= = 03/16 18:01