※ 引述《kinway (￾  )》之銘言： : 1.年級：高一 : 2.科目：數學 : 3.章節：指數 : 4.題目：(i^2)^-1 =i^-2 (-2)^1/2 = 根號2 i ^^^^^^^^參考負整數指數 ^^^^^^^參考複數指數 前者是對的, 後者是錯的 (但後者是錯的理由用到大學的數學) : 5.想法： : 我覺得是定義問題，我有查過課本，底數定義成大於0的數，所以這兩個是錯 : 的嗎？ 這個問題有討論範圍的問題, 下面的討論算是直觀上的解釋, 事實上所有結果 皆來自定義, 作解釋只是為了了解當中使用到限制條件的關鍵點. 當 z 是複數且 n 是正整數, 則 z^n 表示 n 個 z 的連乘積. (1) 零指數 當 z 是複數且 n = 0 => 需要求 z 不是 0, 因為 z^0 = z^(1-1) = z/z = 1. (2) 負整數指數 當 z 是複數且 n 是正整數, 則 z^(-1) 表示 z^(0-1) = 1/z, 只需要求 z 不是 0. 而一般的 z^(-n) = [z^(-1)]^n, 故也只需要求 z 不是 0. (2) 有理指數 當 z 是實數且 n 是正整數, 要讓 z^(1/n) 有意義, 需要求 z > 0. (因為一般而言, z^(1/n) 指的是正實數 z 的唯一正 n 次方根) 因此, 有理指數 z^(m/n) 也必須要求 z > 0 (其中 n 為正整數, m 為整數). (3) 實指數 當 z 是實數且 r 為實數, 要讓 z^r 有意義, 需要求 z > 0. 但由於 z = 1 時, 值皆為 1. 故一般而言只討論 z > 1 與 0 < z < 1 兩種情況. 這是因為對於任意實數 r, 由有理數的稠密性知存在遞增的有理數列 {r_n} 收斂到 r. 定義 z^r 是數列 {z^{r_n}} 的極限值, 因借助有理指數來定義, 故也要求 z > 0. (4) 複指數 當 z = r．e^(iθ) (以極式表式, r > 0, θ 為主幅角) 是非零複數且 α 為複數 則借助指數與對數的關係可寫成 z^α = e^ln(z^α) = e^[α(r + iθ)] 但由於 e^z = e^(z') (z, z' in C) 時表示 z= z' + 2nπi (n in Z) 所以完整的寫法是 z^α = e^[α(r + iθ) + 2nπi]. 因此, (-2)^(1/2) 經計算可得解集合 {i √2, -i √2}. --

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