※ 引述《kinway (￾  )》之铭言： : 1.年级：高一 : 2.科目：数学 : 3.章节：指数 : 4.题目：(i^2)^-1 =i^-2 (-2)^1/2 = 根号2 i ^^^^^^^^参考负整数指数 ^^^^^^^参考复数指数 前者是对的, 後者是错的 (但後者是错的理由用到大学的数学) : 5.想法： : 我觉得是定义问题，我有查过课本，底数定义成大於0的数，所以这两个是错 : 的吗？ 这个问题有讨论范围的问题, 下面的讨论算是直观上的解释, 事实上所有结果 皆来自定义, 作解释只是为了了解当中使用到限制条件的关键点. 当 z 是复数且 n 是正整数, 则 z^n 表示 n 个 z 的连乘积. (1) 零指数 当 z 是复数且 n = 0 => 需要求 z 不是 0, 因为 z^0 = z^(1-1) = z/z = 1. (2) 负整数指数 当 z 是复数且 n 是正整数, 则 z^(-1) 表示 z^(0-1) = 1/z, 只需要求 z 不是 0. 而一般的 z^(-n) = [z^(-1)]^n, 故也只需要求 z 不是 0. (2) 有理指数 当 z 是实数且 n 是正整数, 要让 z^(1/n) 有意义, 需要求 z > 0. (因为一般而言, z^(1/n) 指的是正实数 z 的唯一正 n 次方根) 因此, 有理指数 z^(m/n) 也必须要求 z > 0 (其中 n 为正整数, m 为整数). (3) 实指数 当 z 是实数且 r 为实数, 要让 z^r 有意义, 需要求 z > 0. 但由於 z = 1 时, 值皆为 1. 故一般而言只讨论 z > 1 与 0 < z < 1 两种情况. 这是因为对於任意实数 r, 由有理数的稠密性知存在递增的有理数列 {r_n} 收敛到 r. 定义 z^r 是数列 {z^{r_n}} 的极限值, 因借助有理指数来定义, 故也要求 z > 0. (4) 复指数 当 z = r．e^(iθ) (以极式表式, r > 0, θ 为主幅角) 是非零复数且 α 为复数 则借助指数与对数的关系可写成 z^α = e^ln(z^α) = e^[α(r + iθ)] 但由於 e^z = e^(z') (z, z' in C) 时表示 z= z' + 2nπi (n in Z) 所以完整的写法是 z^α = e^[α(r + iθ) + 2nπi]. 因此, (-2)^(1/2) 经计算可得解集合 {i √2, -i √2}. --

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