1.年級：高中 2.科目：數學 3.章節：高中數學 4.題目；[ 二、三不知想法對不對，五則是想問更好的做法， 說給普通學生聽，數學歸納法怎樣寫 ] 二、試找出所有的三位數，使其平方的末三位數等於本身。 三、試問有多少組不同的正整數解(a,b,c,d,e)滿足 (a+b+c-d*e)^2 =2002(d*e-112)^2 五、給定兩正數c,d，且設方程式X^2 -c*X -d = 0(^為次方,*為乘) 的兩實根為m,u，已知實數列<a_k> (_k為下標)滿足 a_(n+2) <= c*a_(n+1) + d*a_n ,n=1,2,3..... 試證：可以找到兩正數p,q 使得對每一個正整數n 都滿足a_n <= p*m^n +q*u^n。 5.想法：二、試找出所有的三位數，使其平方的末三位數等於本身。 1. 設此三位數為x且x^2 = 1000a +x 則x(x-1)=1000a (a：正整數) 又1000 = 2^3*5^3 因 (x,x-1)=1 又 三位數x ,故設 (I) x=8h,x-1=125k (h,k：正整數) 或(II)x=125k,x-1=8h (h,k：正整數) 2. 由(I) x=126,376,626,876,而376為8之倍數 由(II)亦得 x= 625。 ans：376,625 三、試問有多少組不同的正整數解(a,b,c,d,e)滿足 (a+b+c-d*e)^2 =2002(d*e-112)^2 1. a+b+c-d*e,d*e-112為整數，2002=2*7*11*13 若考慮質因數2的個數，當d*e-112不為0 右式有奇數個，而左式有偶數個(不合) 故d*e-112=0---(1),a+b+c =d*e=112---(2) 2. 由112 = 2^4*7則正因數d有5*2=10個(由(1)) 則(d,e)有10種。 由(2) (a-1)+(b-1)+(c-1) = 109 又a-1,b-1,c-1為非負整數則 (a,b,c)組數 = (a-1,b-1,c-1)組數 = H(3取109) ans= 10*H(3取109) 五、給定兩正數c,d，且設方程式X^2 -c*X -d = 0(^為次方,*為乘) 的兩實根為m,u，已知實數列<a_k> (_k為下標)滿足 a_(n+2) <= c*a_(n+1) + d*a_n ,n=1,2,3..... 試證：可以找到兩正數p,q 使得對每一個正整數n 都滿足a_n <= p*m^n +q*u^n。 [想法] 1. c,d給定 則m,u確定 2. 數列<a_k>為a1,a2,a3,a4.... 其中a3以下有範圍：如a_3<= c*a_2+ d*a_1 a_4<= c*a_3+ d*a_2 ....... 而a1,a2為任意實數 3. 目標今為(I)求出p=( ),q=( )>0後 使(II) 當n=1有a_1<= p*m +q*u-------(1) 當n=2有a_2<= p*m^2+q*u^2 ---(2) 而由於a3以下有範圍，故當(1),(2),p,q確定後 由2.有a3 <= c*(p*m^2 + q*u^2) + d*(p*m + q*u) = p*m(cm + d) + qu(cu + d) = p*m(m^2) + qu(u^2) = p*m^3 + q*u^3得證 a4,a5依此類推[但證明用數學歸納法請問怎麼寫？] 故重點在完成(I)與(II) 設p=q,(倒推求p,q) 則a_1<= p(m + u) a_2<= p(m^2 +u^2) 故 a1/(m+u) <= P (m+u為2根和c>0) -----(3) a2/(m^2+u^2) <= p (m,u為一正一負) -----(4) 故取p= a1/(m+u),a2/(m^2+u^2)兩者絕對值加1後 之最大值(如此是避免為0) 如此一來p,q使(3),(4)成立 則(1),(2)成立 即完成(I)與(II)了。 請問更簡單的證明。謝謝。 標題請使用下列格式 [標題] 年級 科目 主題 確定無誤再行po文 標題錯誤將直接刪文，不另通知，詳細內容請見置底公告 po文時請按ctrl+y將包含此列以上三列文字刪除 1.年級： 2.科目： 3.章節： 版本、章節數、主題 4.題目： 不同章節或主題之題目請份篇發表 5.想法： 解題文缺漏想法者，過於簡略者，以下面的方式處理 a. 解題文沒有附想法或是想法太過簡陋, 警告一次 b. 一個月內, 累積三次警告, 劣退, 並且水桶一個月 發文前請把紅色部份文字刪除 --

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