1.年级：高中 2.科目：数学 3.章节：高中数学 4.题目；[ 二、三不知想法对不对，五则是想问更好的做法， 说给普通学生听，数学归纳法怎样写 ] 二、试找出所有的三位数，使其平方的末三位数等於本身。 三、试问有多少组不同的正整数解(a,b,c,d,e)满足 (a+b+c-d*e)^2 =2002(d*e-112)^2 五、给定两正数c,d，且设方程式X^2 -c*X -d = 0(^为次方,*为乘) 的两实根为m,u，已知实数列<a_k> (_k为下标)满足 a_(n+2) <= c*a_(n+1) + d*a_n ,n=1,2,3..... 试证：可以找到两正数p,q 使得对每一个正整数n 都满足a_n <= p*m^n +q*u^n。 5.想法：二、试找出所有的三位数，使其平方的末三位数等於本身。 1. 设此三位数为x且x^2 = 1000a +x 则x(x-1)=1000a (a：正整数) 又1000 = 2^3*5^3 因 (x,x-1)=1 又 三位数x ,故设 (I) x=8h,x-1=125k (h,k：正整数) 或(II)x=125k,x-1=8h (h,k：正整数) 2. 由(I) x=126,376,626,876,而376为8之倍数 由(II)亦得 x= 625。 ans：376,625 三、试问有多少组不同的正整数解(a,b,c,d,e)满足 (a+b+c-d*e)^2 =2002(d*e-112)^2 1. a+b+c-d*e,d*e-112为整数，2002=2*7*11*13 若考虑质因数2的个数，当d*e-112不为0 右式有奇数个，而左式有偶数个(不合) 故d*e-112=0---(1),a+b+c =d*e=112---(2) 2. 由112 = 2^4*7则正因数d有5*2=10个(由(1)) 则(d,e)有10种。 由(2) (a-1)+(b-1)+(c-1) = 109 又a-1,b-1,c-1为非负整数则 (a,b,c)组数 = (a-1,b-1,c-1)组数 = H(3取109) ans= 10*H(3取109) 五、给定两正数c,d，且设方程式X^2 -c*X -d = 0(^为次方,*为乘) 的两实根为m,u，已知实数列<a_k> (_k为下标)满足 a_(n+2) <= c*a_(n+1) + d*a_n ,n=1,2,3..... 试证：可以找到两正数p,q 使得对每一个正整数n 都满足a_n <= p*m^n +q*u^n。 [想法] 1. c,d给定 则m,u确定 2. 数列<a_k>为a1,a2,a3,a4.... 其中a3以下有范围：如a_3<= c*a_2+ d*a_1 a_4<= c*a_3+ d*a_2 ....... 而a1,a2为任意实数 3. 目标今为(I)求出p=( ),q=( )>0後 使(II) 当n=1有a_1<= p*m +q*u-------(1) 当n=2有a_2<= p*m^2+q*u^2 ---(2) 而由於a3以下有范围，故当(1),(2),p,q确定後 由2.有a3 <= c*(p*m^2 + q*u^2) + d*(p*m + q*u) = p*m(cm + d) + qu(cu + d) = p*m(m^2) + qu(u^2) = p*m^3 + q*u^3得证 a4,a5依此类推[但证明用数学归纳法请问怎麽写？] 故重点在完成(I)与(II) 设p=q,(倒推求p,q) 则a_1<= p(m + u) a_2<= p(m^2 +u^2) 故 a1/(m+u) <= P (m+u为2根和c>0) -----(3) a2/(m^2+u^2) <= p (m,u为一正一负) -----(4) 故取p= a1/(m+u),a2/(m^2+u^2)两者绝对值加1後 之最大值(如此是避免为0) 如此一来p,q使(3),(4)成立 则(1),(2)成立 即完成(I)与(II)了。 请问更简单的证明。谢谢。 标题请使用下列格式 [标题] 年级 科目 主题 确定无误再行po文 标题错误将直接删文，不另通知，详细内容请见置底公告 po文时请按ctrl+y将包含此列以上三列文字删除 1.年级： 2.科目： 3.章节： 版本、章节数、主题 4.题目： 不同章节或主题之题目请份篇发表 5.想法： 解题文缺漏想法者，过於简略者，以下面的方式处理 a. 解题文没有附想法或是想法太过简陋, 警告一次 b. 一个月内, 累积三次警告, 劣退, 并且水桶一个月 发文前请把红色部份文字删除 --

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