※ 引述《cyberlancer (Cyber)》之銘言： : 1.年級：國一上下 : 2.科目：數學 : 3.章節：一元一次方程式、二元一次方程式 : 4.題目： : 甲乙丙三人同時同地同向出發，往56公里外的目的地前進 : 甲騎腳踏車時速16公里，乙丙走路時速4公里 : 一開始甲載乙到半路放下乙，回頭去載丙 : 載到丙後朝目的地騎去，最後與乙三人一起到達終點 : (乙丙在沒有甲接送的時候皆以時速4公里前進) : 求甲要載乙多少公里？ ├───────┼──┤ A B C 設甲要載乙 x 公里，則需要花 x/16 時，丙已走 x/4 公里 此時甲跟丙距離 3x/4 公里遠，又甲、丙速率比為 1:4 所以甲需要回頭 (3x/4)*(4/5)=3x/5 才會遇到丙 又乙下來走的時間為 (56-x)/4 時，甲可騎 16*(56-x)/4 = 224-4x 公里遠 扣掉甲回頭的距離兩次後，跟乙所走的距離要相等來列式 224-4x-2*3x/5 = 56-x 224-26x/5 = 56-x 1120-26x=280-5x 840=21x x=40 所以甲要載乙 40 公里遠 : 5.想法：這種題型以前在競賽題目上看過，原本題型是問「最短時間」 : 我想這敘述應該就是最有效率的吧... 因為沒人休息零蒸發零浪費 : 我是先以二元一次方程式解的，如圖： : A：出發點 : A B B：甲放下乙的地方 : ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方 : C D D：終點 : 設AB長x公里，BC長y公里 : A╱ x ╲B : ├───┼─────┼───┤ : C╲ y ╱ D : 當甲從A到B放下乙再回頭到C接丙，經過的時間恰為丙從A出發到C被甲碰上 : 列出： x+y x-y : ─── ＝ ─── 化簡得 4x－4y ＝ x＋y : 16 4 3x ＝ 5y ...(*1) : 再來看乙被放下後走到終點這段 : A B╱56-x╲ : ├───┼─────┼───┤ : C╲ y ╱ D : 乙被甲放下後從B走到D所經過的時間，甲恰從B走到C，再走到B，再走到D : 列出： 56-x y + y + 56-x : ─── ＝ ─────── 化簡得 224－4x ＝ 2y＋56－x : 4 16 3x ＋ 2y ＝ 168 ...(*2) : 解(*1)(*2)得 y＝24，x＝40 : 解是解出來了，但希望能用一元一次方程式解決 : 我有試著去列，但列了一大~~~陀出來 = =; 想尋求別的方法 : 這時注意到：乙被甲載了40公里，走了16公里，丙也是如此 : 暫時先用這性質來解(粗糙證明在後面) : 設乙丙走了a公里，被甲載了(56-a)公里 : A：出發點 : A╱ 56-a ╲╱ a ╲ B：甲放下乙的地方 : ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方 : C B D D：終點 : C : A╱ 56-a ╲ : ├───┼─────┼───┤ : ╲ a ╱╲ 56-2a ╱B D : 甲A→B→C 和 丙A→C 經過時間相同 : 列出： 56-a+56-2a a 整理得 112－3a ＝ 4a : ───── ＝ ── a ＝ 16 : 16 4 : 這樣容易多了，但要怎麼跟學生講？難道說「要公平」就好嗎？XD : 下面是我傷眼的證明： : ==== : 全部距離 k 乙被載送時間 t : 甲車速 a 乙走路時間 s : 乙丙走速 b : A：出發點 : A B B：甲放下乙的地方 : ├┼──┼─────┼┼──┤ C：甲接到丙的地方 : M C N D D：終點 : M：甲放下乙時，丙的位置 : N：甲接到丙時，乙的位置 : 甲從A到B花了t時間，距離AB是at，丙從A到M花的時間也是t，AM距離bt : (a-b) : BM距離是at－bt＝(a－b)t，甲丙相遇於C點花了─── t 的時間 : a+b : (a-b) 2a : 故丙從A到C花了 t ＋ ─── t ＝ ── t 的時間 ...(**1) : a+b a+b : 再看乙從B被放下後步行到D，當甲在C接起丙時，乙已走到N : (a-b) : 故乙從N走到D的時間是 s － ─── t 這也是甲載丙從C到D的時間 : a+b : 對丙來說他步行+被載的距離為 : 2a (a-b) : ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ k ...(**2) : a+b a+b : 對乙來說他被載+步行的距離為 : t * a ＋ s * b ＝ k ...(**3) : 由(**2)和(**3)得 : 2a (a-b) : ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ t * a ＋ s * b : a+b a+b : 2ab a^2-ab : ── t ＋ as － ─── t ＝ at ＋ bs : a+b a+b : 2ab－a^2＋ab－a^2－ab : ─────────── t ＝ (b－a) s : a+b : －2a^2＋2ab (a+b)(a-b) : ────── t ＝ (b－a) s → t ＝ ───── s 且a-b≠0 : a+b 2a(a-b) : a+b : ＝ ── s 代回 (**1) : 2a : 2a 2a a+b : 丙從A走到C花的時間是 ── t ＝ ───*─── s ＝ s : a+b a+b 2a : 故丙走路的時間和乙相同皆為s QED : ==== : 求教更淺顯易懂的講法！ : 這種題型還有另一個載送多人版本 : 例如有甲乙丙丁戊5人，甲往返載送其他四人 : 也會用到「每人走路的距離都相同」，但我無法參透其中奧妙... QQ --

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