※ 引述《cyberlancer (Cyber)》之铭言： : 1.年级：国一上下 : 2.科目：数学 : 3.章节：一元一次方程式、二元一次方程式 : 4.题目： : 甲乙丙三人同时同地同向出发，往56公里外的目的地前进 : 甲骑脚踏车时速16公里，乙丙走路时速4公里 : 一开始甲载乙到半路放下乙，回头去载丙 : 载到丙後朝目的地骑去，最後与乙三人一起到达终点 : (乙丙在没有甲接送的时候皆以时速4公里前进) : 求甲要载乙多少公里？ ├───────┼──┤ A B C 设甲要载乙 x 公里，则需要花 x/16 时，丙已走 x/4 公里 此时甲跟丙距离 3x/4 公里远，又甲、丙速率比为 1:4 所以甲需要回头 (3x/4)*(4/5)=3x/5 才会遇到丙 又乙下来走的时间为 (56-x)/4 时，甲可骑 16*(56-x)/4 = 224-4x 公里远 扣掉甲回头的距离两次後，跟乙所走的距离要相等来列式 224-4x-2*3x/5 = 56-x 224-26x/5 = 56-x 1120-26x=280-5x 840=21x x=40 所以甲要载乙 40 公里远 : 5.想法：这种题型以前在竞赛题目上看过，原本题型是问「最短时间」 : 我想这叙述应该就是最有效率的吧... 因为没人休息零蒸发零浪费 : 我是先以二元一次方程式解的，如图： : A：出发点 : A B B：甲放下乙的地方 : ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方 : C D D：终点 : 设AB长x公里，BC长y公里 : A╱ x ╲B : ├───┼─────┼───┤ : C╲ y ╱ D : 当甲从A到B放下乙再回头到C接丙，经过的时间恰为丙从A出发到C被甲碰上 : 列出： x+y x-y : ─── ＝ ─── 化简得 4x－4y ＝ x＋y : 16 4 3x ＝ 5y ...(*1) : 再来看乙被放下後走到终点这段 : A B╱56-x╲ : ├───┼─────┼───┤ : C╲ y ╱ D : 乙被甲放下後从B走到D所经过的时间，甲恰从B走到C，再走到B，再走到D : 列出： 56-x y + y + 56-x : ─── ＝ ─────── 化简得 224－4x ＝ 2y＋56－x : 4 16 3x ＋ 2y ＝ 168 ...(*2) : 解(*1)(*2)得 y＝24，x＝40 : 解是解出来了，但希望能用一元一次方程式解决 : 我有试着去列，但列了一大~~~陀出来 = =; 想寻求别的方法 : 这时注意到：乙被甲载了40公里，走了16公里，丙也是如此 : 暂时先用这性质来解(粗糙证明在後面) : 设乙丙走了a公里，被甲载了(56-a)公里 : A：出发点 : A╱ 56-a ╲╱ a ╲ B：甲放下乙的地方 : ├───┼─────┼───┤ C：甲接到丙的地方 : C B D D：终点 : C : A╱ 56-a ╲ : ├───┼─────┼───┤ : ╲ a ╱╲ 56-2a ╱B D : 甲A→B→C 和 丙A→C 经过时间相同 : 列出： 56-a+56-2a a 整理得 112－3a ＝ 4a : ───── ＝ ── a ＝ 16 : 16 4 : 这样容易多了，但要怎麽跟学生讲？难道说「要公平」就好吗？XD : 下面是我伤眼的证明： : ==== : 全部距离 k 乙被载送时间 t : 甲车速 a 乙走路时间 s : 乙丙走速 b : A：出发点 : A B B：甲放下乙的地方 : ├┼──┼─────┼┼──┤ C：甲接到丙的地方 : M C N D D：终点 : M：甲放下乙时，丙的位置 : N：甲接到丙时，乙的位置 : 甲从A到B花了t时间，距离AB是at，丙从A到M花的时间也是t，AM距离bt : (a-b) : BM距离是at－bt＝(a－b)t，甲丙相遇於C点花了─── t 的时间 : a+b : (a-b) 2a : 故丙从A到C花了 t ＋ ─── t ＝ ── t 的时间 ...(**1) : a+b a+b : 再看乙从B被放下後步行到D，当甲在C接起丙时，乙已走到N : (a-b) : 故乙从N走到D的时间是 s － ─── t 这也是甲载丙从C到D的时间 : a+b : 对丙来说他步行+被载的距离为 : 2a (a-b) : ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ k ...(**2) : a+b a+b : 对乙来说他被载+步行的距离为 : t * a ＋ s * b ＝ k ...(**3) : 由(**2)和(**3)得 : 2a (a-b) : ── t * b ＋ ( s － ─── t ) * a ＝ t * a ＋ s * b : a+b a+b : 2ab a^2-ab : ── t ＋ as － ─── t ＝ at ＋ bs : a+b a+b : 2ab－a^2＋ab－a^2－ab : ─────────── t ＝ (b－a) s : a+b : －2a^2＋2ab (a+b)(a-b) : ────── t ＝ (b－a) s → t ＝ ───── s 且a-b≠0 : a+b 2a(a-b) : a+b : ＝ ── s 代回 (**1) : 2a : 2a 2a a+b : 丙从A走到C花的时间是 ── t ＝ ───*─── s ＝ s : a+b a+b 2a : 故丙走路的时间和乙相同皆为s QED : ==== : 求教更浅显易懂的讲法！ : 这种题型还有另一个载送多人版本 : 例如有甲乙丙丁戊5人，甲往返载送其他四人 : 也会用到「每人走路的距离都相同」，但我无法参透其中奥妙... QQ --

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