作者chuliu (chuliu)
看板tutor
標題Re: [解題] 請教一題關於級數範圍的微積分
時間Thu Mar 4 03:20:53 2010
→ k6416337:多列幾項會發現an>=1,所以你先證明1<=an<3對所有n皆成立 02/28 22:17
→ k6416337:其次，a(n+1)-an=[an-a(n-1)]/an*a(n-1)，看IP認為你該會
an+1-an=(an-a(n-1)/(an*a(n-1))
請問k大是否要證明an+1-an>0?
小的不才用到數學歸納法
n=1時a2-a1>0
n=k時設其成立 ak+1-ak>0
n=k+1時
ak+2-ak+1=(ak+1-ak)/(ak+1*ak)>0
故成立
所以an+1-an>0
又
an+1>an>a1=1
an=3-1/an-1<3
所以
1<=an<3
而
an是遞增有極限故收斂
設x為極限
n->無限大時
an+1=an=x
x=3-1/x
x=1.5+ 5^0.5/2
在下只能這樣解
以上獻醜
※ 引述《enoeht20181 (徐三羊)》之銘言：
: 1.年級：大一
: 2.科目：微乙
: 3.章節：
: Calculus (Early transcendentals) by James Stewart
: 4.題目：
: Show that the sequence defined by a1=1 （級數第一項等於一）
: a(n+1)= 3 - 1/an （第n+1項等於三減去第n項的倒數）
: is increasing and an < 3 for all n. Deduce that {an} is convergent
: and find its limit.
: (抱歉第一次po文，不會使用一些特有符號，敬請包涵＞＂＜)
: 5.想法：
: 為了證明遞增，所以我用第n+1項的一般式減去an，如果可以得出恆正的結果，
: 就表示必定遞增，但是接下來我就卡住了…請高手幫幫忙吧＞＂＜
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◆ From: 219.79.209.72
1F：推 k6416337:沒錯 就是要用單調有界來證明收斂 03/04 21:37
2F：→ k6416337:你應該先證有界，再證明遞增的 03/04 21:38