※ 引述《TheStranger (guest)》之銘言： : 1.年級：高一 : 2.科目：數學 : 3.章節：第二冊第一章 指數與對數 : 4.題目：(抱歉不會打根號) : 三次根號(-8)=-2 3 先弄清楚符號 √(-8) 在問什麼，一般我們將這個問題理解成求出方程式 x^3 = -8 的唯 一負實根 (根的存在性仰賴中間值定理，唯一性只是因式分解)。 證明方法如下： 考慮多項方程式 f(x) = x^3 + 8, 則有 f(0)f(-3) < 0, 故依實數連續函數的中間值定理, f(x) 在 0 與 -3 之間有一個負根, 設為 α. 次證 唯一性, 若 β 也是 f(x) 的負根, 則 α^3 = β^3 => 0 = (α-β)(α^2 + αβ+β^2) 故 α = β. 3 如果你將 √(-8) 理解成求出 x^3 = -8 的所有解，那麼 解出 x^3 = -8 的方法就是套用棣美幅定理，而答案是 3 個。 簡證如下： 由棣美幅定理知 z_k = 2{cos[(2k+1)π/3] + i sin[(2k+1)π/3]}, k = 0,1,2 是 x^3 = -8 的三個根. 若 γ 是異於此三根的另一根, 則 γ 是方程式 0 = x^3 + 8 = (x - z_0)(x - z_1)(x - z_2) 的根, 此為矛盾, 因為等號右手邊不 為零, 證得方程式 x^3 + 8 = 0 恰好只有三個根. 將此處的正整數 3 改成一般的正奇數 2n+1 (n 為正整數) 論證仍正確。 : 5.想法： : 新超群寫 三次根號(-a)=-(三次根號a) : 但 為何二次根號負數=虛數 : 三次根號負數=實數 ? : 是因為x^3=-1 有實數解 故定義此實數解就是 三次根號(-1)嗎? : 這麼說來 對所有奇數n x^n=-1 都有實數解 -1 : 故對所有奇數n n次根號(-1)=-1 都成立囉? : 那不等於二的偶數要怎麼定義? : 例如x^4=-1 每一個解都不剛好在實軸或虛軸 : 那要如何定義 四次根號(-1)? : 難道等於 根號i 嗎? : 那根號i 又是 x^2=i 的哪個解? : 故我實在認為定義 三次根號(-1)=-1 真的滿奇怪的 : 不知道大家有沒有合理的解釋 : 或是有沒有比較有公信力的書(除了高中參考書以外)或網站可以解釋? : 非常謝謝大家 --

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