※ 引述《TheStranger (guest)》之铭言： : 1.年级：高一 : 2.科目：数学 : 3.章节：第二册第一章 指数与对数 : 4.题目：(抱歉不会打根号) : 三次根号(-8)=-2 3 先弄清楚符号 √(-8) 在问什麽，一般我们将这个问题理解成求出方程式 x^3 = -8 的唯 一负实根 (根的存在性仰赖中间值定理，唯一性只是因式分解)。 证明方法如下： 考虑多项方程式 f(x) = x^3 + 8, 则有 f(0)f(-3) < 0, 故依实数连续函数的中间值定理, f(x) 在 0 与 -3 之间有一个负根, 设为 α. 次证 唯一性, 若 β 也是 f(x) 的负根, 则 α^3 = β^3 => 0 = (α-β)(α^2 + αβ+β^2) 故 α = β. 3 如果你将 √(-8) 理解成求出 x^3 = -8 的所有解，那麽 解出 x^3 = -8 的方法就是套用棣美幅定理，而答案是 3 个。 简证如下： 由棣美幅定理知 z_k = 2{cos[(2k+1)π/3] + i sin[(2k+1)π/3]}, k = 0,1,2 是 x^3 = -8 的三个根. 若 γ 是异於此三根的另一根, 则 γ 是方程式 0 = x^3 + 8 = (x - z_0)(x - z_1)(x - z_2) 的根, 此为矛盾, 因为等号右手边不 为零, 证得方程式 x^3 + 8 = 0 恰好只有三个根. 将此处的正整数 3 改成一般的正奇数 2n+1 (n 为正整数) 论证仍正确。 : 5.想法： : 新超群写 三次根号(-a)=-(三次根号a) : 但 为何二次根号负数=虚数 : 三次根号负数=实数 ? : 是因为x^3=-1 有实数解 故定义此实数解就是 三次根号(-1)吗? : 这麽说来 对所有奇数n x^n=-1 都有实数解 -1 : 故对所有奇数n n次根号(-1)=-1 都成立罗? : 那不等於二的偶数要怎麽定义? : 例如x^4=-1 每一个解都不刚好在实轴或虚轴 : 那要如何定义 四次根号(-1)? : 难道等於 根号i 吗? : 那根号i 又是 x^2=i 的哪个解? : 故我实在认为定义 三次根号(-1)=-1 真的满奇怪的 : 不知道大家有没有合理的解释 : 或是有没有比较有公信力的书(除了高中参考书以外)或网站可以解释? : 非常谢谢大家 --

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