※ 引述《YoscarY (風流帥哥)》之銘言： : 1.年級：高三 : 2.科目：數學 : 3.章節：不等式 : 4.題目： : x^2+2xy+y^2-2x+6y+5 = 0 : 試求x-y之最小值 : 5.想法： : 答案是1 : 我把原式整理成 (x+y-1)^2 = -8(y+ 1/2 ) : 因此圖形是一個斜的拋物線,頂點為(3/2,-1/2) : 然後再以x-y這條直線去靠近此拋物線 : 因為x-y和拋物線主軸x+y-1恰好垂直,所以我覺得極值可能發生在頂點 假如對稱軸是x+y-1=0 那你所求的y+1/2=0卻不與之垂直 或許我可以這樣配方 x^2+2xy+y^2-2x+6y+5 = 0 (y^2+6y+9)+2x(y+3)+x^2=8x+4 (y+3+x)^2 = 8(x+1/2) 那對稱軸真的是x+y+3=0嗎 似乎這種配方法可能只能決定是什麼圖形而已 卻沒辦法判別對稱軸 至少在拋物線似乎很不準? 也許 : 但把頂點代進x-y後得到的答案是2 : 而且我以拋物線上的某些點代入,也的確可以產生小於2的結果 : 請問一下我的想法是錯在哪裡?? : 還是我一開始的解題方向就不對了 (1)高一建議用x-y=k(k屬於R) y=k+x帶入 判別式>=0即可 (2)現在的高三可以用線性規畫的觀念看待 即只需求出方程式斜率m=1的切點即可 原式微分 2x+2(y+xy')+2yy'-2+6y'=0 =>y'=-(x+y-1)/(x+y+3) = 1 =>x+y=-1 hence, y=-1-x帶入原方程式求出切點(0,-1) 所以最小值x-y=1 (3)至於原圖形長什麼樣子? 來個座標軸的平移跟轉軸試試看 轉45度 [x] = [cos(π/4) -sin(π/4)][x'] [y] [sin(π/4) cos(π/4)][y'] =>圖形變成 2x'^2+2√2x'+4√2y'+5=0 配方 =>(x'+√2/2)^2 = -2√2(y'+√2/2) =>轉軸後的對稱軸為x'+√2/2=0 另一個軸y'+√2/2=0 =>已知[x'] = [ cos(π/4) sin(π/4)][x] [y'] [-sin(π/4) cos(π/4)][y] =>將x',y'帶入對稱軸 得對稱軸x+y+1=0 另一個x-y-1=0 所以原方程式為(x+y+1)^2=4(x-y-1) 頂點在(0,-1) 你雖然預測說極值發生在頂點 可惜頂點求錯了... 如果沒算錯的話...有算錯請自行更正 感謝@@ --

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