※ 引述《YoscarY (风流帅哥)》之铭言： : 1.年级：高三 : 2.科目：数学 : 3.章节：不等式 : 4.题目： : x^2+2xy+y^2-2x+6y+5 = 0 : 试求x-y之最小值 : 5.想法： : 答案是1 : 我把原式整理成 (x+y-1)^2 = -8(y+ 1/2 ) : 因此图形是一个斜的抛物线,顶点为(3/2,-1/2) : 然後再以x-y这条直线去靠近此抛物线 : 因为x-y和抛物线主轴x+y-1恰好垂直,所以我觉得极值可能发生在顶点 假如对称轴是x+y-1=0 那你所求的y+1/2=0却不与之垂直 或许我可以这样配方 x^2+2xy+y^2-2x+6y+5 = 0 (y^2+6y+9)+2x(y+3)+x^2=8x+4 (y+3+x)^2 = 8(x+1/2) 那对称轴真的是x+y+3=0吗 似乎这种配方法可能只能决定是什麽图形而已 却没办法判别对称轴 至少在抛物线似乎很不准? 也许 : 但把顶点代进x-y後得到的答案是2 : 而且我以抛物线上的某些点代入,也的确可以产生小於2的结果 : 请问一下我的想法是错在哪里?? : 还是我一开始的解题方向就不对了 (1)高一建议用x-y=k(k属於R) y=k+x带入 判别式>=0即可 (2)现在的高三可以用线性规画的观念看待 即只需求出方程式斜率m=1的切点即可 原式微分 2x+2(y+xy')+2yy'-2+6y'=0 =>y'=-(x+y-1)/(x+y+3) = 1 =>x+y=-1 hence, y=-1-x带入原方程式求出切点(0,-1) 所以最小值x-y=1 (3)至於原图形长什麽样子? 来个座标轴的平移跟转轴试试看 转45度 [x] = [cos(π/4) -sin(π/4)][x'] [y] [sin(π/4) cos(π/4)][y'] =>图形变成 2x'^2+2√2x'+4√2y'+5=0 配方 =>(x'+√2/2)^2 = -2√2(y'+√2/2) =>转轴後的对称轴为x'+√2/2=0 另一个轴y'+√2/2=0 =>已知[x'] = [ cos(π/4) sin(π/4)][x] [y'] [-sin(π/4) cos(π/4)][y] =>将x',y'带入对称轴 得对称轴x+y+1=0 另一个x-y-1=0 所以原方程式为(x+y+1)^2=4(x-y-1) 顶点在(0,-1) 你虽然预测说极值发生在顶点 可惜顶点求错了... 如果没算错的话...有算错请自行更正 感谢@@ --

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