※ 引述《Light3000》之銘言： : 4.題目： : 這是上課教學生時的疑惑,回家後不知道要怎樣解釋給學生才對@@ : 1+2+4+8+16+32+......= : 設X 1+2+4+8+16+32......=X : 又 1+2(1+2+4+8+...)...=X : 1+2X=X : X=-1 : 5.想法： : 上課時我把收斂和發散解釋完後,跟學生說因為這是發散,所以不能這樣設 : (收斂就可以...ex:1+1/2+1/4+1/8......) : 結果被反問說...那為什麼發散就不能這樣設?理由何在? : 我只記得高中老師說過只有收斂才能設,可是忘記為什麼了@@ : 再加上我查維基百科,裡面好像說有時確實-1也可是他的答案@@ : 我不知道該怎麼去跟學生討論這問題,就很混亂@@ : 感恩^^ 我懂你的疑惑，事實上我們應該忽略那個 x = -1， 算法不正確的原因絕對不是因為 x = -1，而是計算過程的不合法。 如果說因為 x = -1 很奇怪而說這樣是錯的，那這樣邏輯就很怪。 這個問題可以分兩個層次來討論 1. 已經知道 1 + 2 + 4 + ... 發散，那這樣的求合法錯在哪裡？ 2. 既然有一套方法可以計算(或說賦予) 1 + 2 + 4 + ... 數值， 為何不將極限值如此定義 先回答 1. 這樣求值的過程，其實牽扯上的操作是 無窮級數的相加、相減、移項 而在典型(就是高中或大學微積分) 的極限定義中，這些操作並不會使極限值不改變 也就是說，這樣的操作對一般無窮級數本來就不合法。 _ 國中的時候，或許你有看過 0.9 = 1 的證明 _ _ 會令 x = 0.9, 10x = 9.9 => 9x = 9 => x = 1 我們常常會聽到說，這樣的證明不嚴謹，不嚴謹在哪卻怎樣也說不出來。 這樣看來就很明顯了，對於未證明可以進行 相加、相減、移項 操作的無窮級數 根本就不應該取這樣的操作。 回到原題，並不是因為求出來 1 + 2 + 4 + ... = -1 違背常理才說他錯 _ 即使 0.9 = 1 不違背常理 我們也是說他錯 再來回答 2. 確實，如果你有一套方法可以賦予一個無窮級數的極限值的方法，只要這個方法是 不矛盾的 (意思就是說 1 + 2 + 4 + ... 用這套方法不會 = -1 又 = -2 ) 確實可以這樣定義無窮級數的極限值。 但是不同種的定義法，所容許的操作更是不同，就算可以定義 1 + 2 + 4 + ... = -1 也並不代表上面的做法是正確的！ 這是一個很巧妙的差異，實際存在一個高等數學的例子，聽聽就算了。 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .... 在典型定義下，極限不存在 但可以拓展極限的定義，使得他等於 1/2 但是在這樣的定義下 利用 1 - 1 + 1 - 1 + ... = x x = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .... = 1 - x => x = 1/2 還是錯，因為在這樣的定義下，依然不允許 相加、相減、移項 只是你算出來值一樣而已。 -- 女人要麼是奴隸，要麼是暴君，但絕非男人的伴侶。 L. V. Sacher Masoch --

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