※ 引述《Light3000》之铭言： : 4.题目： : 这是上课教学生时的疑惑,回家後不知道要怎样解释给学生才对@@ : 1+2+4+8+16+32+......= : 设X 1+2+4+8+16+32......=X : 又 1+2(1+2+4+8+...)...=X : 1+2X=X : X=-1 : 5.想法： : 上课时我把收敛和发散解释完後,跟学生说因为这是发散,所以不能这样设 : (收敛就可以...ex:1+1/2+1/4+1/8......) : 结果被反问说...那为什麽发散就不能这样设?理由何在? : 我只记得高中老师说过只有收敛才能设,可是忘记为什麽了@@ : 再加上我查维基百科,里面好像说有时确实-1也可是他的答案@@ : 我不知道该怎麽去跟学生讨论这问题,就很混乱@@ : 感恩^^ 我懂你的疑惑，事实上我们应该忽略那个 x = -1， 算法不正确的原因绝对不是因为 x = -1，而是计算过程的不合法。 如果说因为 x = -1 很奇怪而说这样是错的，那这样逻辑就很怪。 这个问题可以分两个层次来讨论 1. 已经知道 1 + 2 + 4 + ... 发散，那这样的求合法错在哪里？ 2. 既然有一套方法可以计算(或说赋予) 1 + 2 + 4 + ... 数值， 为何不将极限值如此定义 先回答 1. 这样求值的过程，其实牵扯上的操作是 无穷级数的相加、相减、移项 而在典型(就是高中或大学微积分) 的极限定义中，这些操作并不会使极限值不改变 也就是说，这样的操作对一般无穷级数本来就不合法。 _ 国中的时候，或许你有看过 0.9 = 1 的证明 _ _ 会令 x = 0.9, 10x = 9.9 => 9x = 9 => x = 1 我们常常会听到说，这样的证明不严谨，不严谨在哪却怎样也说不出来。 这样看来就很明显了，对於未证明可以进行 相加、相减、移项 操作的无穷级数 根本就不应该取这样的操作。 回到原题，并不是因为求出来 1 + 2 + 4 + ... = -1 违背常理才说他错 _ 即使 0.9 = 1 不违背常理 我们也是说他错 再来回答 2. 确实，如果你有一套方法可以赋予一个无穷级数的极限值的方法，只要这个方法是 不矛盾的 (意思就是说 1 + 2 + 4 + ... 用这套方法不会 = -1 又 = -2 ) 确实可以这样定义无穷级数的极限值。 但是不同种的定义法，所容许的操作更是不同，就算可以定义 1 + 2 + 4 + ... = -1 也并不代表上面的做法是正确的！ 这是一个很巧妙的差异，实际存在一个高等数学的例子，听听就算了。 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .... 在典型定义下，极限不存在 但可以拓展极限的定义，使得他等於 1/2 但是在这样的定义下 利用 1 - 1 + 1 - 1 + ... = x x = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + .... = 1 - x => x = 1/2 还是错，因为在这样的定义下，依然不允许 相加、相减、移项 只是你算出来值一样而已。 -- 女人要麽是奴隶，要麽是暴君，但绝非男人的伴侣。 L. V. Sacher Masoch --

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