作者shuen1217 (Hamartia)
看板tutor
標題[解題] 國一數學 不等式
時間Thu Jun 11 21:44:20 2009
1.年級：國一
2.科目：數學
3.章節：第五章不等式
4.題目：
銳角三角形ABC，若角A >= 角B >= 角C >= 1/2角A (>=是大於或等於@@)
求角A範圍?
5.想法：
(以下省略"角"字...跟"度"...)
A+B+C=180
A=180-B-C
1/2A <= B <= A
1/2A <= C <= A
1/2(180-B-C) <= B <= 180-B-C
1/2(180-B-C) <= C <= 180-B-C
整理右邊可以得到
2B+C<=180
2C+B<=180
相加
3B+3C<=360
B+C<=120
A+B+C<=120+A
180<=120+A
A>=60
我得到A的下限
但是用一樣的方法整理左邊
180-B-C <= 2B
180 <= 3B+C
360<=4B+4C
B+C<=90
只會得到A<=90
(呃A不會等於90因為A是銳角 所以我解出來應該是60<=A<90
但是A=88時可以找到反例 88, 60, 32)
答案是60<=A<=72
<我不太記得右邊是小於還是小於等於@@不過數字是對的>
麻煩高手解答@@
謝謝
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◆ From: 118.165.9.197
1F：推 neoBlaze:我覺得答案應該是 60 <= A < 90 06/11 22:36
2F：→ neoBlaze:(A,B,C)=(88,46,46) 可以符合最初的不等式 又此三角型為 06/11 22:37
3F：→ neoBlaze:銳角三角形 所以A不等於90度 06/11 22:37
4F：推 liar1478:同意樓上 06/11 22:38
5F：→ liar1478:其實考慮A+B+C<=A+A+A -> 60<=A 06/11 22:40
6F：→ liar1478:A+B+C>=A+A/2+A/2 -> A<=90 又 A不等於90 這樣比較簡單~ 06/11 22:41
7F：→ shuen1217:可是A是86時有可能是(86,60,34) 這樣就不行了@@ 06/11 23:00
※ 編輯: shuen1217 來自: 118.165.17.223 (06/11 23:03)
8F：→ neoBlaze:(86,47,47)就可以囉~ 06/11 23:09
我的意思是說，如果說60<=A<90 卻可以在A=88度時找出反例，不就表示這不會是解嗎
※ 編輯: shuen1217 來自: 118.165.17.223 (06/11 23:10)
9F：→ liar1478:我又變成支持原po了＝＝... 06/11 23:13
※ 編輯: shuen1217 來自: 118.165.17.223 (06/11 23:19)
10F：推 liar1478:是小於等於 因為我用線性規劃拼出來了..可是國中的話.. 06/11 23:24
11F：推 neoBlaze:嗯 有道理 我再想想~ 06/11 23:32
12F：→ liar1478:請問國中有教算幾不等式嘛? 06/11 23:34
13F：→ shuen1217:沒有 解出來的話我會講一下@@ 然後跟她說超出範圍... 06/11 23:39
14F：推 neoBlaze:想到一個硬湊的解法 如果把角度用2:2:1來分 06/11 23:40
15F：→ neoBlaze:最小角 一定會大於等於最大角的一半 06/11 23:40
16F：→ neoBlaze:所以 180*(2/5) = 72 06/11 23:41
17F：→ liar1478:是阿..我也一直想如果題目規定是等腰三角形就好了 06/11 23:44
18F：→ liar1478:也不對..有不是等腰三角形的解ㄟ.. 06/11 23:49
我朋友幫我想的:
它已經求出兩個邊界60<=A<=90，
因為A>B>C，所以
B跟C也是<90
A+B+C=180 0.5(A+B+C)=90
從 B >= 0.5A = 90-0.5B-0.5C 這條式子
可得 1.5B+0.5C >= 90
3B+C >= 180
從 A >= B 可得 180-B-C >= B 推得
2B+C =< 180
整理
3B+C >= 180 >= 2B+C (1)
利用(1)的前半，代入C =< 90 ，得 3B >= 90 ，推得
B >= 30 同理 C >= 30
利用(1)的後半，代入C >= 30 ，得 150 >= 2B ，推得 B =< 75 同理 C =< 75
利用(1)的前半，代入C =< 75 ，得 3B >=105 ，推得 B >= 35 同理 C >= 35
利用(1)的後半，代入C >= 35 ，得 145 >= 2B ，推得 B =< 72.5 同理 C =< 72.5
...
逼近於 72>=B>=36
於是A也小於等於72
※ 編輯: shuen1217 來自: 118.165.17.223 (06/11 23:59)