作者shuen1217 (Hamartia)
看板tutor
标题[解题] 国一数学 不等式
时间Thu Jun 11 21:44:20 2009
1.年级：国一
2.科目：数学
3.章节：第五章不等式
4.题目：
锐角三角形ABC，若角A >= 角B >= 角C >= 1/2角A (>=是大於或等於@@)
求角A范围?
5.想法：
(以下省略"角"字...跟"度"...)
A+B+C=180
A=180-B-C
1/2A <= B <= A
1/2A <= C <= A
1/2(180-B-C) <= B <= 180-B-C
1/2(180-B-C) <= C <= 180-B-C
整理右边可以得到
2B+C<=180
2C+B<=180
相加
3B+3C<=360
B+C<=120
A+B+C<=120+A
180<=120+A
A>=60
我得到A的下限
但是用一样的方法整理左边
180-B-C <= 2B
180 <= 3B+C
360<=4B+4C
B+C<=90
只会得到A<=90
(呃A不会等於90因为A是锐角 所以我解出来应该是60<=A<90
但是A=88时可以找到反例 88, 60, 32)
答案是60<=A<=72
<我不太记得右边是小於还是小於等於@@不过数字是对的>
麻烦高手解答@@
谢谢
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 118.165.9.197
1F：推 neoBlaze:我觉得答案应该是 60 <= A < 90 06/11 22:36
2F：→ neoBlaze:(A,B,C)=(88,46,46) 可以符合最初的不等式 又此三角型为 06/11 22:37
3F：→ neoBlaze:锐角三角形 所以A不等於90度 06/11 22:37
4F：推 liar1478:同意楼上 06/11 22:38
5F：→ liar1478:其实考虑A+B+C<=A+A+A -> 60<=A 06/11 22:40
6F：→ liar1478:A+B+C>=A+A/2+A/2 -> A<=90 又 A不等於90 这样比较简单~ 06/11 22:41
7F：→ shuen1217:可是A是86时有可能是(86,60,34) 这样就不行了@@ 06/11 23:00
※ 编辑: shuen1217 来自: 118.165.17.223 (06/11 23:03)
8F：→ neoBlaze:(86,47,47)就可以罗~ 06/11 23:09
我的意思是说，如果说60<=A<90 却可以在A=88度时找出反例，不就表示这不会是解吗
※ 编辑: shuen1217 来自: 118.165.17.223 (06/11 23:10)
9F：→ liar1478:我又变成支持原po了＝＝... 06/11 23:13
※ 编辑: shuen1217 来自: 118.165.17.223 (06/11 23:19)
10F：推 liar1478:是小於等於 因为我用线性规划拼出来了..可是国中的话.. 06/11 23:24
11F：推 neoBlaze:嗯 有道理 我再想想~ 06/11 23:32
12F：→ liar1478:请问国中有教算几不等式嘛? 06/11 23:34
13F：→ shuen1217:没有 解出来的话我会讲一下@@ 然後跟她说超出范围... 06/11 23:39
14F：推 neoBlaze:想到一个硬凑的解法 如果把角度用2:2:1来分 06/11 23:40
15F：→ neoBlaze:最小角 一定会大於等於最大角的一半 06/11 23:40
16F：→ neoBlaze:所以 180*(2/5) = 72 06/11 23:41
17F：→ liar1478:是阿..我也一直想如果题目规定是等腰三角形就好了 06/11 23:44
18F：→ liar1478:也不对..有不是等腰三角形的解ㄟ.. 06/11 23:49
我朋友帮我想的:
它已经求出两个边界60<=A<=90，
因为A>B>C，所以
B跟C也是<90
A+B+C=180 0.5(A+B+C)=90
从 B >= 0.5A = 90-0.5B-0.5C 这条式子
可得 1.5B+0.5C >= 90
3B+C >= 180
从 A >= B 可得 180-B-C >= B 推得
2B+C =< 180
整理
3B+C >= 180 >= 2B+C (1)
利用(1)的前半，代入C =< 90 ，得 3B >= 90 ，推得
B >= 30 同理 C >= 30
利用(1)的後半，代入C >= 30 ，得 150 >= 2B ，推得 B =< 75 同理 C =< 75
利用(1)的前半，代入C =< 75 ，得 3B >=105 ，推得 B >= 35 同理 C >= 35
利用(1)的後半，代入C >= 35 ，得 145 >= 2B ，推得 B =< 72.5 同理 C =< 72.5
...
逼近於 72>=B>=36
於是A也小於等於72
※ 编辑: shuen1217 来自: 118.165.17.223 (06/11 23:59)