作者crazymars (什麼時候才有日出)
看板tutor
標題Re: [解題] 高一數學-解方程式
時間Thu May 28 16:05:19 2009
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 220.140.16.168
: 推 crazymars:有理係數方程式無理根成對 不夠精確 05/28 11
: → crazymars:不用那麼複雜 x^3 -2 = 0 就沒有有理根了 05/28 11
: → crazymars:你可以再想想 是怎樣的有理根才會成對^_^ 05/28 11
恩 這邊是我打錯字 我要說的是
你可以再想想 是怎樣的"無"理根才會成對
: 推 devil115789:樓上不知道在說什麼 有理係數方程式無理根成對 05/28 13
: 推 crazymars:我打錯字了 不是所有的無理根都有成對的性質 05/28 13
: → devil115789:所以你的第二行是在?? 05/28 13
: → devil115789:畫圖來看 1和2之間會有3個根或是2個根(含一重根) 05/28 13
如果x^3-2=0 1和2之間有二重根以上我隨便你XD
大家都知道 x^3 - 1 = 0 有三個根 1,ω,ω^2 其中ω=(-1+√3 i)/2
所以很容易的可以知道
x^3 - 2 = 0 的三個根 分別是 (2)^{1/3} , (2)^{1/3} * ω , (2)^{1/3} * ω^2
如果哪隻眼睛看得到重根的話@@ 我可以推薦你不錯的眼科XD
不過回歸正題
其實不只原PO很多人都一直誤會說 有理係數多項式無理根會成對
其實這句話就有一個東西的定義有問題了
無理根成對是什麼 當然在代數上有他定義的conjugate(共軛)
但是這不是很重要 如果隨便寫一個無理根都會成對 那請問 1 + (2)^{2/3}
和他成對的是誰 絕對不是我們可能會猜想的 1 - (2)^{2/3}
而實際是什麼 我想不是很重要所以我們不在這邊討論
其實"成對"是為了讓高中生不要學那麼多帶是出現的名詞
如果你注意看很多參考書 有些嚴謹的書會近量避免出現這兩個字
事實上 只有 有理係數多項式底下 a+b√c , a-b√c 這兩個根才會成對出現
其中√c是無理數
所以修正原PO問的話
我們可以得到下面結論
實係數多項式中 , 虛根會共軛出現
有理係數多項式中 , a+b√c , a-b√c此類型無理根會成對出現
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另外推文的 d大 也給了我很好的建議
但是我想說的是
我知道 若 f(x)是一個連續函數 若f(a)f(b)<0 則a和b中間 有奇數個實根
另外 根據代數基本定理 f(x)=x^3-2 有三個複數根
但是這世界不是這麼單存 不是一定只有實根可以用
代數基本定理告訴我那是"複數"根 不一定是"實"根
你的判斷是對實根用的
實際上這題另外兩個是虛根 , 所以我只能對你的判斷說抱歉了
那應該不是正確的
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◆ From: 114.43.205.10
※ 編輯: crazymars 來自: 114.43.205.10 (05/28 16:07)
1F：→ endlesschaos:所以crazymars大原本要人想想的問題：「怎樣的方程式 05/28 16:21
2F：→ endlesschaos:無理根才會成對」的答案是？ 05/28 16:21
3F：推 Nimrodel:不是都回答了嗎? 這篇不錯:) 05/28 16:24
4F：→ endlesschaos:那我可以請問一下 x^3-6x^2+18x-18=0這式子當中哪一 05/28 16:26
5F：→ endlesschaos:個係數是無理係數？ 05/28 16:26
我不想跟您多說了 我用Maple解出來了
-2^(2/3)+2^(1/3)+2,
1/2*2^(2/3)-1/2*2^(1/3)+2+1/2*I*3^(1/2)*(-2^(2/3)-2^(1/3)),
1/2*2^(2/3)-1/2*2^(1/3)+2-1/2*I*3^(1/2)*(-2^(2/3)-2^(1/3))
剩下你自己判斷@@
6F：推 Nimrodel:挑明您要說什麼吧? 多字的話建議po一篇... 05/28 16:28
※ 編輯: crazymars 來自: 114.43.205.10 (05/28 16:30)
7F：→ endlesschaos:我要說的就是x^3-6x^2+18x-18=0這個式子也是有理係數 05/28 16:29
8F：→ endlesschaos:方程式 但是無理根卻不成對 表示回答「有理係數方 05/28 16:30
9F：→ endlesschaos:程式無理根必成對」這個答案有問題啊... 05/28 16:31
10F：推 Nimrodel:所以你認為他會有無理根成對???????? 05/28 16:31
11F：→ crazymars:搞半天誤會一場 我有說這句話沒問題嗎@@ 05/28 16:31
12F：→ endlesschaos:而且我似乎是第一次問您問題 這個熊庹還真不錯... 05/28 16:31
13F：→ Nimrodel:你沒說錯阿...我看到的c大也是這樣說的阿...有衝突? 05/28 16:32
14F：→ crazymars:而且我問的是 "怎樣的無理根才會成對"吧 05/28 16:32
15F：→ endlesschaos:crazymars:所以修正原PO問的話 我們可以得到下面結論 05/28 16:32
16F：→ endlesschaos:實係數多項式中 , 虛根會共軛出現 有理係數多項式中 05/28 16:33
17F：→ endlesschaos:, a+b√c , a-b√c此類型無理根會成對出現 05/28 16:33
18F：→ crazymars:嗯嗯嗯 我懂了 不過這句話的意思我也許說不是很好 05/28 16:33
19F：→ crazymars:但是我的意思是說 如果a+b√c是根 a-b√c也是 05/28 16:34
20F：→ crazymars:如果這句話有問題 歡迎舉個反例讓我知道@@ 05/28 16:34
21F：推 Nimrodel:那我懂c大的敘述錯誤問題了, 應該是若存在a+b√c, 05/28 16:35
22F：→ Nimrodel:則a+b√c與a-b√c會成對出現 05/28 16:35
23F：→ crazymars:而上述的方程式 是沒有a+b√c類型的根 05/28 16:35
24F：→ crazymars:對不起 我偷懶XD 讓大家誤會了 05/28 16:36
25F：→ crazymars:我也對endlesschaos解釋一下 我剛剛修文說的 我會錯意 05/28 16:36
26F：→ Nimrodel:所以c大本來是要修正有理係數必存在成對的無理根, 但卻在 05/28 16:37
27F：→ crazymars:所以不好意思了 05/28 16:37
28F：→ Nimrodel:敘述過程中, 卻也犯了同樣的問題.. 05/28 16:37
29F：→ endlesschaos:N大 其實我不太懂你想表達什麼 你不也看不懂我問的是 05/28 16:38
30F：→ endlesschaos:什麼 然後在沒回答的狀態下持續的反問我嗎？ 05/28 16:39
31F：推 Nimrodel:的確, 就所得的資訊是如此, 所以才會說不妨說出來 05/28 20:29
32F：→ Nimrodel:而等到你清楚說出來後, 就了然了, 省卻了不必要的問題 05/28 20:30