介紹一個古希臘風格的証明 可以解釋為什麼(第一類)槓桿兩端力矩=力╳力臂相等的時候可以達到平衡 只需要三個定性的前提, 完全不需要引入能量或質量等其他條件 在這裡, 槓桿上除支點外, 力都是向下, 平衡槓桿位於水平狀態 這個證明有三大前提: 1.對稱平衡: 如果槓桿兩端, 施力大小與位置完全一致時, 槓桿可達成平衡 以下三種狀況, 其中⊙是支點轉軸位置, 白色線段是槓桿, 紅色箭頭是力 (a) (b) (c) ⊙ ⊙ ⊙ ┬──┴──┬ ┬─┬──┴──┬─┬ ┬─┬─┴──┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 根據對稱平衡前提, 則可保證 (a) (b) 為平衡狀態 而 (c) 中因為槓桿兩邊不對稱, 則不能保證平衡 2.聚合原則: 如果槓桿達到平衡, 則支點上的總受力等於槓桿上各施力總和 比方說 (a) 槓桿兩端各有施力 F, 達成平衡時支點上的力 2F 而 (b) 槓桿兩端各有施力 2F, 達成平衡時支點上的力 4F (a) ↑2F (b) ↑4F ⊙ ⊙ ┬──┴──┬ ┬─┬──┴──┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ F F F F F F 3.替換原則: 一個槓桿上, 若某些施力的分布可以滿足槓桿平衡條件 這些施力分布, 可以全等替換為掛在原本槓桿上的另一組平衡槓桿, 而整體平衡不變 這個要看圖比較清楚 在下面的 (a) 中, 左邊兩個力可以經此原則替換成一個附掛的新槓桿 (a) ⊙ ⊙ ┬─┬──┴──┬─┬ => ─┬───┴──┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ⊙ 2F ↓ ↓ F F F F ┬┴┬ F F ↓ ↓ F F 而這種替換是可以跨過原本的支點的, 如 (b) 中被替換過後還是平衡的 (b) ⊙ ⊙ ┬─┬───┴───┬─┬ => ──┬──┬┴─────┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ │ ↓ F F F F F ⊙ 2F F ┬────┴────┬ ↓ ↓ F F 現在我們要用這些原則去證明兩端力矩=力╳力臂相等的時候可以達到平衡 考量以下的槓桿, 總長度是 (2*(M+N)-1)*L, M 與 N 可為任意正整數 (下圖中 M=3, N=2) 令支點在原點上, 槓桿上面平均分布著 2*(M+N) 個 F 力 根據前提 1, 這樣會是平衡的 ⊙ ┬─┬─┬─┬─┬┴┬─┬─┬─┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 利用前提 3, 則槓桿上的作用力, 可以替換為下面的樣子: x ⊙ y ─────┬───┴─────┬─── │ │ ⊙ ⊙ ┬─┬─┬┴┬─┬─┬ ┬─┬┴┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 替換過後, 附掛位置 x=-N*L, y=M*L -N*L ⊙ M*L x ┬───┴─────┬ y ↓ ↓ 2*M*F 2*N*F 由前提 2, 由附掛位置 x, y 傳遞過來的力各為 2*M*F 與 2*N*F 因此可以知道, 在兩端力矩=力╳力臂相等之下, 槓桿可以達到平衡 -- 在達文西過世四個月後，麥哲倫展開了人類歷史上的首次環球航行。 --

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