介绍一个古希腊风格的证明 可以解释为什麽(第一类)杠杆两端力矩=力╳力臂相等的时候可以达到平衡 只需要三个定性的前提, 完全不需要引入能量或质量等其他条件 在这里, 杠杆上除支点外, 力都是向下, 平衡杠杆位於水平状态 这个证明有三大前提: 1.对称平衡: 如果杠杆两端, 施力大小与位置完全一致时, 杠杆可达成平衡 以下三种状况, 其中⊙是支点转轴位置, 白色线段是杠杆, 红色箭头是力 (a) (b) (c) ⊙ ⊙ ⊙ ┬──┴──┬ ┬─┬──┴──┬─┬ ┬─┬─┴──┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 根据对称平衡前提, 则可保证 (a) (b) 为平衡状态 而 (c) 中因为杠杆两边不对称, 则不能保证平衡 2.聚合原则: 如果杠杆达到平衡, 则支点上的总受力等於杠杆上各施力总和 比方说 (a) 杠杆两端各有施力 F, 达成平衡时支点上的力 2F 而 (b) 杠杆两端各有施力 2F, 达成平衡时支点上的力 4F (a) ↑2F (b) ↑4F ⊙ ⊙ ┬──┴──┬ ┬─┬──┴──┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ F F F F F F 3.替换原则: 一个杠杆上, 若某些施力的分布可以满足杠杆平衡条件 这些施力分布, 可以全等替换为挂在原本杠杆上的另一组平衡杠杆, 而整体平衡不变 这个要看图比较清楚 在下面的 (a) 中, 左边两个力可以经此原则替换成一个附挂的新杠杆 (a) ⊙ ⊙ ┬─┬──┴──┬─┬ => ─┬───┴──┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ⊙ 2F ↓ ↓ F F F F ┬┴┬ F F ↓ ↓ F F 而这种替换是可以跨过原本的支点的, 如 (b) 中被替换过後还是平衡的 (b) ⊙ ⊙ ┬─┬───┴───┬─┬ => ──┬──┬┴─────┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ │ ↓ F F F F F ⊙ 2F F ┬────┴────┬ ↓ ↓ F F 现在我们要用这些原则去证明两端力矩=力╳力臂相等的时候可以达到平衡 考量以下的杠杆, 总长度是 (2*(M+N)-1)*L, M 与 N 可为任意正整数 (下图中 M=3, N=2) 令支点在原点上, 杠杆上面平均分布着 2*(M+N) 个 F 力 根据前提 1, 这样会是平衡的 ⊙ ┬─┬─┬─┬─┬┴┬─┬─┬─┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 利用前提 3, 则杠杆上的作用力, 可以替换为下面的样子: x ⊙ y ─────┬───┴─────┬─── │ │ ⊙ ⊙ ┬─┬─┬┴┬─┬─┬ ┬─┬┴┬─┬ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 替换过後, 附挂位置 x=-N*L, y=M*L -N*L ⊙ M*L x ┬───┴─────┬ y ↓ ↓ 2*M*F 2*N*F 由前提 2, 由附挂位置 x, y 传递过来的力各为 2*M*F 与 2*N*F 因此可以知道, 在两端力矩=力╳力臂相等之下, 杠杆可以达到平衡 -- 在达文西过世四个月後，麦哲伦展开了人类历史上的首次环球航行。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 155.69.204.248