※ 引述《amst (analysis)》之銘言： : 1.年級：高中二年級下學期 : 2.科目：數學 : 3.章節：南一版第四冊第三章第三節 : 4.主題：數學期望值 : 5.題目： : 有一個箱子裡面放了三顆球 : 分別是紅色、藍色和黃色 : 現在阿嘉一次抽一顆球 : 取出來之後要再放回箱子裡面 : 請問阿嘉取完三種球的次數期望值為何？ : (一種顏色取到一次，直到三種顏色都抽到) 寫在前面 這是除了原PO所用的方法外 另一種解釋方式 (當然原PO的方式較快) 本法想法單純 計算極度複雜 想法為 (次數乘上機率) 之 總和 為期望值 =============================分隔線============================================== 於是將3次成功 4次 5次...之機率計算出來 如下 3次成功之機率 3! / 3^3 (3個不同花色排列) / 3異球拿3次 3! 3! 前三球 選2色後排列 *最後1球 4次之機率 ( ----+ -----)*3 / 3^4 ---------------------------- 2!1! 1!2! 3異球拿四次 4! 4! 4! 5次.... (------ + ------ + ------ )*3 /3^5 3!1! 2!2! 1!3! 以下類推 ================================分隔線============================================ 3! 3! 看似機率無規律 但若將 4次括號中加入 ---- + ----- = 2 (前3球同色之情形數) 3!0! 0!3! 4! 4! 5次 ------+------ = 2 (前4球同色之情形數) 4!0! 0!4! 則括號內可改寫為 2^3 與2^4 (二項式定理) 則 3次完成機率不變 為 3!/3^3 = 2/9 4次完成 為[ (2^3)*3/3^4 ] - [(2)*3/3^4] = (2/3)^3 - 2(1/3^3) 5次完成 為[ (2^4)*3/3^5 ] - [(2)*3/3^5] = (2/3)^4 - 2(1/3^4) 以下以此類推 ===============================分隔線===================================== 機率完成後 將次數乘入 4*[(2/3)^3 - 2(1/3^3)] = 4*(2/3)^3 - 4*2(1/3^3) 5*[(2/3)^4 - 2(1/3^4)] = 5*(2/3)^4 - 5*2(1/3^4) ...... = ......... +) ------------------------------------ S N 3次成功的另外算 3* (2/9) = 2/3 ==============================分隔線========================================= 則 S = 4*(2/3)^3 + 5*(2/3)^4 + 6*(2/3)^5 + ....... (2/3)S = 4*(2/3)^4 + 5*(2/3)^5 + ....... -)________________________________________________ 得 S = 16/3 同理得 N = 0.5 最後期望值 = 2/3 + S - N = 5.5 計算式超複雜的 大家參考看看 有錯的話還請指正 -- --

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