※ 引述《amst (analysis)》之铭言： : 1.年级：高中二年级下学期 : 2.科目：数学 : 3.章节：南一版第四册第三章第三节 : 4.主题：数学期望值 : 5.题目： : 有一个箱子里面放了三颗球 : 分别是红色、蓝色和黄色 : 现在阿嘉一次抽一颗球 : 取出来之後要再放回箱子里面 : 请问阿嘉取完三种球的次数期望值为何？ : (一种颜色取到一次，直到三种颜色都抽到) 写在前面 这是除了原PO所用的方法外 另一种解释方式 (当然原PO的方式较快) 本法想法单纯 计算极度复杂 想法为 (次数乘上机率) 之 总和 为期望值 =============================分隔线============================================== 於是将3次成功 4次 5次...之机率计算出来 如下 3次成功之机率 3! / 3^3 (3个不同花色排列) / 3异球拿3次 3! 3! 前三球 选2色後排列 *最後1球 4次之机率 ( ----+ -----)*3 / 3^4 ---------------------------- 2!1! 1!2! 3异球拿四次 4! 4! 4! 5次.... (------ + ------ + ------ )*3 /3^5 3!1! 2!2! 1!3! 以下类推 ================================分隔线============================================ 3! 3! 看似机率无规律 但若将 4次括号中加入 ---- + ----- = 2 (前3球同色之情形数) 3!0! 0!3! 4! 4! 5次 ------+------ = 2 (前4球同色之情形数) 4!0! 0!4! 则括号内可改写为 2^3 与2^4 (二项式定理) 则 3次完成机率不变 为 3!/3^3 = 2/9 4次完成 为[ (2^3)*3/3^4 ] - [(2)*3/3^4] = (2/3)^3 - 2(1/3^3) 5次完成 为[ (2^4)*3/3^5 ] - [(2)*3/3^5] = (2/3)^4 - 2(1/3^4) 以下以此类推 ===============================分隔线===================================== 机率完成後 将次数乘入 4*[(2/3)^3 - 2(1/3^3)] = 4*(2/3)^3 - 4*2(1/3^3) 5*[(2/3)^4 - 2(1/3^4)] = 5*(2/3)^4 - 5*2(1/3^4) ...... = ......... +) ------------------------------------ S N 3次成功的另外算 3* (2/9) = 2/3 ==============================分隔线========================================= 则 S = 4*(2/3)^3 + 5*(2/3)^4 + 6*(2/3)^5 + ....... (2/3)S = 4*(2/3)^4 + 5*(2/3)^5 + ....... -)________________________________________________ 得 S = 16/3 同理得 N = 0.5 最後期望值 = 2/3 + S - N = 5.5 计算式超复杂的 大家参考看看 有错的话还请指正 -- --

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