※ 引述《cgmEX (cgm)》之銘言： : 1.年級：高一 : 2.科目：數學 : 3.章節： : 4.題目： : 1. 證明 : n 為正整數 ， n > 3 則 3^n > n^3 : 2. P為正質數，n為正整數，f(n)= 3^(2n+1) + 2^(n+2) : (1)對一切自然數n，使得 P │ f(n) ， 求 P : (2)試利用數學歸納法證明(1)中你的答案為正確 : 5.想法： : 1. 證明 : n 為正整數 ， n > 3 則 3^n > n^3 : (1) 當 n=1 時 3> 1 成立 : (2) 設 n=K 時 3^K > K^3 成立 : (3) 當 n=K+1 時 (K>3) : 3^(K+1) = 3 * 3^K = 3^K + 3^K + 3^K : (K+1)^3 = K^3 + 3K^2 + (3K+1) : 由2假設 推得 3^K > K^3 : 由於K為正整數且K>3 使得 3^K > K^3 > 3K^2 > 3K+1 : 3^(K+1) > (K+1)^3 成立 : (4) 由數學歸納法得證 : 以上推導不知道有沒有疏漏的地方，希望前輩給予指導 : 2. P為正質數，n為正整數，f(n)= 3^(2n+1) + 2^(n+2) : (1)對一切自然數n，使得 P │ f(n) ， 求 P : (2)試利用數學歸納法證明(1)中你的答案為正確 : (1) 不知道該怎樣求，因此列出來發現 f(1) = 35 f(2) = 259 : 判斷P 可能是7 ，但是不知道有沒有正規的算法 : (2) 就當作7是答案 : n= 1成立 設n = k 時成立 7 │ 3^(2k+1) + 2^(k+2) 數學歸納法的想法主要是設立一個 立足點，然後想辦法建立延續性 n = 1 成立 就是設立立足點，立足點平移是沒有關係的 設 n = k 成立 推出 k+1 成立 就是為了建立延續性 想辦法從 設n = k 時成立 7 │ 3^(2k+1) + 2^(k+2) 來推 (1) 當n = 1 3^(2k+1) + 2^(k+2) = 35 = 5*7 成立 (2) 設n = k (k屬於N)時 原命題成立即得 7│3^(2k+1) + 2^(k+2) 令 3^(2k+1) + 2^(k+2) = 7t t屬於Z 又3^[2(k+1)+1]+2^[(k+1)+2]= 9*3^(2k+1)+2*2^(k+2) = 2(7t) + 7*3^(2k+1) = 7*[2t + 3^(2k+1)] 即 7│3^[2(k+1)+1]+2^[(k+1)+2] ∴ n = k+1 時 亦成立 由(1)(2) 得 對一切自然數n 7│f(n) : n= k+1時 7 │ 3^(2k+2) + 2^(k+3) : 7 │ 3^(2k+1) + 2^(k+2) : 相減 7 │ 2* 3^(2k+1) + 2^(k+2) : 還是不知道該怎樣處理 : 以上問題 ， 謝謝指導 --

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