※ 引述《cgmEX (cgm)》之铭言： : 1.年级：高一 : 2.科目：数学 : 3.章节： : 4.题目： : 1. 证明 : n 为正整数 ， n > 3 则 3^n > n^3 : 2. P为正质数，n为正整数，f(n)= 3^(2n+1) + 2^(n+2) : (1)对一切自然数n，使得 P │ f(n) ， 求 P : (2)试利用数学归纳法证明(1)中你的答案为正确 : 5.想法： : 1. 证明 : n 为正整数 ， n > 3 则 3^n > n^3 : (1) 当 n=1 时 3> 1 成立 : (2) 设 n=K 时 3^K > K^3 成立 : (3) 当 n=K+1 时 (K>3) : 3^(K+1) = 3 * 3^K = 3^K + 3^K + 3^K : (K+1)^3 = K^3 + 3K^2 + (3K+1) : 由2假设 推得 3^K > K^3 : 由於K为正整数且K>3 使得 3^K > K^3 > 3K^2 > 3K+1 : 3^(K+1) > (K+1)^3 成立 : (4) 由数学归纳法得证 : 以上推导不知道有没有疏漏的地方，希望前辈给予指导 : 2. P为正质数，n为正整数，f(n)= 3^(2n+1) + 2^(n+2) : (1)对一切自然数n，使得 P │ f(n) ， 求 P : (2)试利用数学归纳法证明(1)中你的答案为正确 : (1) 不知道该怎样求，因此列出来发现 f(1) = 35 f(2) = 259 : 判断P 可能是7 ，但是不知道有没有正规的算法 : (2) 就当作7是答案 : n= 1成立 设n = k 时成立 7 │ 3^(2k+1) + 2^(k+2) 数学归纳法的想法主要是设立一个 立足点，然後想办法建立延续性 n = 1 成立 就是设立立足点，立足点平移是没有关系的 设 n = k 成立 推出 k+1 成立 就是为了建立延续性 想办法从 设n = k 时成立 7 │ 3^(2k+1) + 2^(k+2) 来推 (1) 当n = 1 3^(2k+1) + 2^(k+2) = 35 = 5*7 成立 (2) 设n = k (k属於N)时 原命题成立即得 7│3^(2k+1) + 2^(k+2) 令 3^(2k+1) + 2^(k+2) = 7t t属於Z 又3^[2(k+1)+1]+2^[(k+1)+2]= 9*3^(2k+1)+2*2^(k+2) = 2(7t) + 7*3^(2k+1) = 7*[2t + 3^(2k+1)] 即 7│3^[2(k+1)+1]+2^[(k+1)+2] ∴ n = k+1 时 亦成立 由(1)(2) 得 对一切自然数n 7│f(n) : n= k+1时 7 │ 3^(2k+2) + 2^(k+3) : 7 │ 3^(2k+1) + 2^(k+2) : 相减 7 │ 2* 3^(2k+1) + 2^(k+2) : 还是不知道该怎样处理 : 以上问题 ， 谢谢指导 --

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