※ 引述《cagesoup (水水水)》之銘言： : 1.年級：國中 : 2.科目：數學 : 3.章節：全 : 4.題目： : 連結一個圓周上的9個點的36條線段，染上紅色或藍色，若由這9個點中 : 任3點組成的三角形都至少有一條紅邊。 : 求證：必有4個點，連結他們的6條線段都是紅色的 : 5.想法： : 想從題目有知的條件下手，先算出紅邊至少有幾條 : 可是想了想又沒啥頭緒>"< : 請高手幫忙了！謝謝 此圓上每個點所連出去的紅色線段都至少5條以上， 因為若有一點所連出去的紅色線段為4條，則必有4條藍色線段 不妨假設為x_1 連至x_5,x_6,x_7,x_8 都為藍色，則此四點彼此之間的連線 必均為紅色，則此四點得證 於是，考慮每個點所連出的紅色線段都至少5條以上， 然而，若有一點連出去的紅色線段有6條， 不妨說是x_1 連到x_2,...,x_6,x_7 可證得在x_2,x_3,...,x_7六點中，必存在一個三邊都是紅色的三角形(證明略)， 而此x_1,與此紅色三角形的三頂點又都相連，故得證 所以，不妨假設此九點，每點所連出的線段為5紅3藍 考慮x_1與x_2,...,x_6相連為紅色，與x_7,x_8,x_9為藍色 若x_2,...,x_6此五點中，有三點彼此間的連線為紅色，形成紅色三角形，則得證 考慮此五點彼此之間的連線， 可知每一點所連出的四條線中，必定為2紅2藍 (原因如下： 1.若有一點連出3紅以上，不妨說是x_2與x_3,x_4,x_5相連為紅色， 則在x_3,x_4,x_5中，必有兩點相連為紅色，不妨說是x_3,x_4 易知x_1,x_2,x_3,x_4彼此相連為紅色，得證。 2.若有一點連出3藍以上，不妨說是x-2與x_3,x_4,x_5相連為藍色， 則x_3,x_4,x_5必兩兩相連為紅色，就有一個紅色三角形了,由前面 討論可知得證 ) 整理一下現在的情況， x_1與x_2,...,x_6相連為紅色，而與x_7,x_8,x_9為藍色 (可知x_7,x_8,x_9彼此相連為紅色) 而x_2,...,x_6此五點彼此相連為2藍2紅 接著再考慮{x_2,...,x_6}與{x_7,x_8,x_9}間的連線 可知現在{x_2,...,x_6}中，每一點連到{x_7,x_8,x_9}的連線有2紅1藍 考慮x_2，不妨假設x_2與x_3,x_4相連為紅色，與x_5,x_6相連為藍色， 且x_2與x_7相連也是藍色 (注意此時的假設都是不失一般性的) 則x_5,x_6,x_7形成一個紅色三角形，x_2與x_8,x_9相連為紅色(因為5紅3藍) 考慮x_3與x_5,x_6的連線中必有一條為藍色， (i) 若x_3,x_5相連為藍色，則x_4,x_5相連為紅色, x_4,x_6相連為藍色(因為2紅2藍)， x_3,x_6相連為紅色(因為2紅2藍)。 此時{x_2,...,x_6}間的連線顏色大致底定。 考慮x_3與x_7,x_8,x_9之間的連線， 若為x_3,x_7連線為藍色，則x_3與x_8,x_9連線為紅色(因為2紅1藍)， 可得x_2,x_3,x_8,x_9四點得證 若x_3,x_8連線為藍色，則x_3與x_7,x_9連線為紅色， x_4與x_8連線為紅色 (a) 若此時x_4與x_9連線為藍色，則x_4與x_7相連為紅色 因此x_4,x_5,x_7,x_8四點得證 (b) 若此時x_4與x_7連線為藍色，則x_4與x_9相連為紅色 因此x_2,x_4,x_8,x_9四點得證 若x_3,x_9連線為藍色，情形同"x_3,x_8連線為藍色" (ii) 若x_3,x_6相連為藍色，如(i)方式討論之，即可得。 原先的證明已更改。 證明中有些的假設，是利用圖形本身的對稱，所做的不失一般性假設。 如有錯誤，煩請告知..感激不盡:) --

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