※ 引述《cagesoup (水水水)》之铭言： : 1.年级：国中 : 2.科目：数学 : 3.章节：全 : 4.题目： : 连结一个圆周上的9个点的36条线段，染上红色或蓝色，若由这9个点中 : 任3点组成的三角形都至少有一条红边。 : 求证：必有4个点，连结他们的6条线段都是红色的 : 5.想法： : 想从题目有知的条件下手，先算出红边至少有几条 : 可是想了想又没啥头绪>"< : 请高手帮忙了！谢谢 此圆上每个点所连出去的红色线段都至少5条以上， 因为若有一点所连出去的红色线段为4条，则必有4条蓝色线段 不妨假设为x_1 连至x_5,x_6,x_7,x_8 都为蓝色，则此四点彼此之间的连线 必均为红色，则此四点得证 於是，考虑每个点所连出的红色线段都至少5条以上， 然而，若有一点连出去的红色线段有6条， 不妨说是x_1 连到x_2,...,x_6,x_7 可证得在x_2,x_3,...,x_7六点中，必存在一个三边都是红色的三角形(证明略)， 而此x_1,与此红色三角形的三顶点又都相连，故得证 所以，不妨假设此九点，每点所连出的线段为5红3蓝 考虑x_1与x_2,...,x_6相连为红色，与x_7,x_8,x_9为蓝色 若x_2,...,x_6此五点中，有三点彼此间的连线为红色，形成红色三角形，则得证 考虑此五点彼此之间的连线， 可知每一点所连出的四条线中，必定为2红2蓝 (原因如下： 1.若有一点连出3红以上，不妨说是x_2与x_3,x_4,x_5相连为红色， 则在x_3,x_4,x_5中，必有两点相连为红色，不妨说是x_3,x_4 易知x_1,x_2,x_3,x_4彼此相连为红色，得证。 2.若有一点连出3蓝以上，不妨说是x-2与x_3,x_4,x_5相连为蓝色， 则x_3,x_4,x_5必两两相连为红色，就有一个红色三角形了,由前面 讨论可知得证 ) 整理一下现在的情况， x_1与x_2,...,x_6相连为红色，而与x_7,x_8,x_9为蓝色 (可知x_7,x_8,x_9彼此相连为红色) 而x_2,...,x_6此五点彼此相连为2蓝2红 接着再考虑{x_2,...,x_6}与{x_7,x_8,x_9}间的连线 可知现在{x_2,...,x_6}中，每一点连到{x_7,x_8,x_9}的连线有2红1蓝 考虑x_2，不妨假设x_2与x_3,x_4相连为红色，与x_5,x_6相连为蓝色， 且x_2与x_7相连也是蓝色 (注意此时的假设都是不失一般性的) 则x_5,x_6,x_7形成一个红色三角形，x_2与x_8,x_9相连为红色(因为5红3蓝) 考虑x_3与x_5,x_6的连线中必有一条为蓝色， (i) 若x_3,x_5相连为蓝色，则x_4,x_5相连为红色, x_4,x_6相连为蓝色(因为2红2蓝)， x_3,x_6相连为红色(因为2红2蓝)。 此时{x_2,...,x_6}间的连线颜色大致底定。 考虑x_3与x_7,x_8,x_9之间的连线， 若为x_3,x_7连线为蓝色，则x_3与x_8,x_9连线为红色(因为2红1蓝)， 可得x_2,x_3,x_8,x_9四点得证 若x_3,x_8连线为蓝色，则x_3与x_7,x_9连线为红色， x_4与x_8连线为红色 (a) 若此时x_4与x_9连线为蓝色，则x_4与x_7相连为红色 因此x_4,x_5,x_7,x_8四点得证 (b) 若此时x_4与x_7连线为蓝色，则x_4与x_9相连为红色 因此x_2,x_4,x_8,x_9四点得证 若x_3,x_9连线为蓝色，情形同"x_3,x_8连线为蓝色" (ii) 若x_3,x_6相连为蓝色，如(i)方式讨论之，即可得。 原先的证明已更改。 证明中有些的假设，是利用图形本身的对称，所做的不失一般性假设。 如有错误，烦请告知..感激不尽:) --

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