作者IsMe1086 (大頭)
看板tutor
標題Re: [解題] 高二數學 向量1-2
時間Thu Jul 31 13:57:07 2008
※ 引述《wgc (ttt)》之銘言：
: 1.年級：高二
: 2.科目：數學
: 3.章節：1-2
: 4.題目：分點公式：若線段AB上有一點P,AP:PB=m:n,
: 則向量OP=n/m+nOA+m/m+nOB,
: 其中O點不在直線AB上。（課本上的公式)
: 5.想法：請問一下： 最後那句(其中O點不在直線AB上)有什麼特殊意義嗎？
: 似乎O點在直線AB上公式也會成立。煩請不吝解惑,謝謝！！
剛教完國中生跑來解惑了=ˇ=
沒錯 O是任意點
__ __ __
若線段AB上有一點P,AP:PB=m:n
__ __
因為AP指的是線段 PB也是
所以m和n被認為都是正數(當然也可以有負數的比啦 不過好像沒什麼意義|||)
在這個簡單的前提下
關鍵在於向量有「方向」、「正負」差別
<-->
如果O在直線AB上
因為是「直線」 不是「線段」
所以我們分兩種情況討論
__
1.O介於AB之間
假設O在P的左邊
↓
A---------------P---------B
m n
__ __
不失為一般性 假設AO:OB=t:(1-t) 且 t>0,1-t>0
A-----------O-------------B
t 1-t
__ __ __
因為AP在AB所占的比例比AO要多 所以我們有 m/(m+n)>t -----(*)
_\ _\ _\ _\ _\ _\ _\
OP = n/(m+n)OA+m/(m+n)OB (OA=tBA ,OB=(1-t)AB 代入)
_\
= (t-m/(m+n))AB (請自行代入計算)
根據(*) t-m/(m+n)<0
_\ _\
所以OP和 AB 的方向相反 (與假設矛盾!!!)
同理若O在P右邊 也會矛盾
__
顧得證O不能AB之間
__
2.O介於AB之外
懶的寫=ˇ=
請自己導Orz
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有錯請多指教
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