※ 引述《choucj (心塵)》之銘言： : ※ 引述《yonex (戴奧尼索斯)》之銘言： : 原文已閱畢，感謝您精闢的回應。 : 但對於我切斷的部分，實在是「正常」的一位中學生都會產生的疑問。 : 即便知道許多對於他們現階段會有的難度問題， : 但以「低估」的這種敷衍的回應方式， : 實在是一種更規避且不負責任的作法。 這我承認 : 我不知道從哪一本書裡，開始產生這樣的解釋 88年實施的高中新教材 : 但我相信在初始狀況， : 這樣的用法應該只是闡明使用 n 將會造成的問題， : 爾後，卻被引用為使用 n-1 會比較好？！ : 明白的說，與其不清不楚的用了一個有理論基礎的 n-1， : 我倒寧可中學生就乾脆用 n ，就用 n。 你說的很好，或許你可以把你的想法告知編寫教科書的專家學者們 標準差在估計母體時，無論是採取n或n－1都是有偏誤的... 還不如採取符合直觀的 n 當分母... 可對學生輕描淡寫的說：在估計理論時，採取n－1來除也是很常見的 不過現階段我們不去討論... （謎之語：在某些觀點之下, 用 n＋1 來除更適當） : 理由很簡單， : 1.中學生不會教到不偏。 : 2.變異數在中學的階段的目的是為了比較，在同樣的標準之下， : 其實這兩者是沒有差別的。 : 3.在早期用 n 的時代裡面，我們曾經會因此在用 n-1 替換時，產生困擾嗎？ : 我相信不僅沒有，反而正重視這突來的改變。 : 4.您既然打從一開始就不打算告訴他原因了， : 何必讓學生瞭解了一堆摸不著邊際的原因，浪費了依堆學習時間在上面？ : 卻換不到一個有理論依據的答案？？ 就第四點，我說過這是現行課本的解釋， 事實上這是編寫的數學家們被要求過後所提供的 也就是在第二年之教材內容中才補上 如同前面所述，您可建議專家們您的想法... 有討論才會有進步... : : 用 n-1 除是為了滿足「不偏性」使得E(s^2)=σ^2成立... : : 在統計上一個好的估計量常被要求滿足不偏性 : : 樣本變異數究竟是否為母體變異數的不偏估計 : : 這還牽扯到各樣本是否獨立的問題 : : 經由簡單隨機抽樣，若所選取之樣本可以再放回 : : 此時母體變異數定義為以 N 為分母， : : 那麼樣本變異數以n－1來除才滿足不偏性 : : 若是有限母體取後不放回（事實上這更普遍）, : : 即使樣本變異數以n－1來除仍是有偏的 : : 這時反而是母體該採取 N-1....（國外教材中以這個觀點更為常見） : ................................這句話有待商榷，母體採取 N-1 ？ 當我們在證明E（s^2）＝σ^2 過程中的一個關鍵：Var(M)＝σ^2/n 只有當各樣本為獨立時才成立， 但一般的簡單隨機抽樣是不放回的，此時任二樣本皆不彼此獨立, 這時若我們接受 s^2 的分母為n－1 那麼只有另外定義一個母體變異數 S^2（以N－1來除）才能滿足不偏性 詳細論證過程有點繁瑣，這裡就不提了... 可以參考Sampling Techniques by Cochran : : 至於「標準差」估計母體，以不偏性考量, : : 則無論是以 n-1、n 來除，標準差的估計都有「誤差」... : : 換言之...除以 n 或除以 n-1,都是「人為」的... : : 既然是「人為」的，當然就可以講出一番道理，但這道理卻不絕對， : 這裡實在難以認同， : 1.樣本統計量當然有誤差，但不代表用 n, n-1因此都沒差。 : 2.道理不絕對也是道理，就是依據。 我再說一次，統計不是數學！ 無論是 n、n－1、n－2... 都不絕對客觀， 每個人可能從不同的觀點切入各式各樣的問題... 端看你的解釋是否說的通，如此而已 在統計中的「講道理」和數學不完全一樣 它代表著...能權衡輕重、能知所變通、能讓數字說話... 可不只是堆砌「死硬規則」的架構而已 : : 這也是統計學和數學在學習心理上的差異（統計學不是數學） : : (或許我們說:隨機性數學與確定性數學之差異會更好) : : 即使對於初學統計的大學生來說，這一整串的論證仍然容易造成混淆 : : 何況是對於沒接觸過推論統計的中學生而言呢？ : 這點我認同， : 所以使用 n-1實在是挖個洞讓別人跳的行為。 : 更何況放眼高中數學教師，有多少比例知道不偏？ : 普遍知道的解釋就是「因為用 n 會低估所以用 n-1....」 就我個人的經驗，高中時的數學老師只叫我們背誦 不過後來我了解他的苦衷... 當時我們這群小毛頭可是連樣本或母體都傻傻分不清楚的孩子 何足與之道哉？！ : : 你的出發點是值得嘉許的 : : 但切莫注意不可曲學以詮釋... : : 即使是良善的立意也不代表什麼事情都能妥協 : : 像是該用數學期望值時，就不應該刻意省略， : : 寫下 "Σ(Xi－M)^2= n-1個母體變異數" 是不被允許的 : 這部分實在是不得已的誤謬， : 只能說要找到適當的詞彙來敘述這樣的感覺不容易。 我了解你的困難... 但是...我想你也同意的... 不管是在任何學科，追求真理畢竟都還是第一考量 公開的論壇，每個人的發言、想法、論述，容或都有接受公評的必要 "不得已"並不該是一個推辭 既然要論述，就要全力避免這麼明顯錯誤 不管對象是誰... 我把你的文章「逐字逐句」檢視過， 你在"用詞遣句"上需要調整的幅度，較數學式子還要更多... 例如：「...每個樣本Xi都產生1個母體變異數...」 例如：「..n個樣本的平均數M就是產生了1/n個母體變異數..」 ....etc. 哪個學者或專書會這樣講？ 無論你出發點是多麼良善都是不被允許的... 我可以毫不手軟的標示出所有你攤在抬面上的顯然錯誤 為什麼你不多想想我之所以不這麼做的原因呢？ 為什麼我反而是讚美你的努力與動機？ 為什麼我不嚴詞批判，甚至是冷嘲熱諷？ 因為我痛恨一種人，如此而已...（可參考8042篇文） : : 發明一些不存在的統計陳述更要避免... : : 這對學生的誤導比幫助還要更大.... : : 你可以再仔細檢視一下自己的論述,訛誤處挺多的... : : 我就不一一舉證了... : 這話輕輕帶過，但挺重的，您可以每段有誤的地方簡單用「...」 同上述... （具體建議你可以考慮重新寫過，這不是改一兩個字句可以挽回的...） : 正如同我對您的文章論述， : 您可以自己看看你自己的論述，引用了自由度、離差、向量， : 卻始終在邊邊繞， 因為當我決計寫下那篇文章，我就不打算以一個高中生為對象... 那麼既然如此，何不寫下鉅細靡遺的證明細節呢？ 事實上我的文章中有相當成分的句子，背後都是滿篇夾槓的數學... 任何一本夠格的大學教科書都講得再清楚不過 嘖嘖...重複每本書都在重複的事情，我想是毫無必要的... 這不只太長篇累牘，也不利閱讀 我想做的是鉤絃提要，而不是展覽一些嚇人的東西... 有興趣的自己去翻書吧，這沒什麼的.... : 我們就單針對一點， : 「為何平均每一個自由度的貢獻就能達到不偏？」 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 我並沒有這麼說吧... 科學與數理的討論，可是每個字都要斤斤計較的... 原文如下： 「在這裡提供一個自由度觀點解釋的理路 對象是中學生,當然不偏性估計的討論只好捨棄.....」 當我選擇了自由度的觀點去切入， 就是採取「平均」而非「不偏」去分析了，不是嗎？ 至於細節那要翻書（Hogg之類的...），純粹是數學理由... : : 不過你的立意是良好的，我讚美你嘗試的努力... : : 規避不偏性而又能具備完備的解釋,就我而言也是做不到..... : : 但我卻也不想走一條以偏蓋全的路啦... : : 把努力放在未來,對學生還是比較好的.... : 何為偏？何為全？ : 數學要教給學生，抓的是他的精神跟價值， : 今天我們即使用自由度去作詮釋， : 但自由度的代表性本身就存在一個疑問， 在統計學中，講自由度就一定離不開卡方分佈的理論 無論是t 分布, F 分布, 他們的自由度都來自卡方分佈 如果你知道卡方分布怎麼來的，那麼自由度的涵義即在其中 這透露出的訊息就是：中學生不可能完全體會 一旦想把話說清楚講明白，無異於「求全之毀」 不知道這樣有沒有回答你的疑問（何謂偏？何謂全？）， : 我們用一個疑問去解釋另一個疑問， : 我想最大的效益就是讓授課的教師當下免除自己的責任， : 至少他當下說的有憑有據，學生聽不懂或不理解的以後就懂了... : 然而，這樣的方式應是最後的手段啦～ : 只是放在統計這邊，讓人覺得似乎還太早。 : 中學教師教學， : 學生聽的懂是教師的責任，學生學到會是他自己的責任。 : 如果我們連第一個責任都要規避， : 那似乎不是一個應有的敬業態度。 我可不認為有這麼嚴重.... 老師或許該採取的最佳姿態，就是什麼都不要解釋... 把努力放在未來,對學生還是比較好的.... 另外我想說： 這件事情也沒這麼重要 （純屬個人觀感），就這部分會考試比較重要 如果他以後有必要明瞭這回事，時候到了自然會知道.... 不過你的精神是挺令人感佩的... 我差不多是個沒什麼責任感的老師...毫無疑問... -- 「當你覺得道德很高的時候，要小心，因為你可能犯了極嚴重的錯誤！」 富蘭克林的一句話我奉為圭臬，這無疑是我冷靜與世故的寫照.... --

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