作者alamabarry (123)
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標題[教材] 高中數學 極大值極小值題型歸納
時間Tue Jun 19 22:54:18 2007
來分享極大極小值題型的分類與解題方法
希望版上的人能幫我補足我漏掉的地方
遇到題目求最大或最小值大致可以往幾個方向去找
才不會遇到無從下手
〔題型一〕 拋物線型（二次多項式型）
y=ax^2+bx+c
配方法求解
*變化型* (1) x有範圍限制時
(2) x改寫成sin(z) -1<=x<=1
(3) x改寫成log(z) x沒有範圍限制 z>0
(4) x改寫成z^2 x>=0
(5) x=sin(z)+-cos(z) -2^0.5 <=x<=2^0.5 (混合疊合或科西)
(6) x=a^z+a^-z x>=2 (混合算機不等式)
(7) x=a^z x>0
〔題型二〕 高次多項式型
y=a+bx+cx^2+dx^3+e........
利用微分為零求極大極小值
〔題型三〕 科西不等式 (內積) "相加"與"相加"的極值
平方ｖｓ一次型： (ax^2+....)(..常數..)>=(bx+.....)^2
一次ｖｓ倒數型： (ax+......)(bx+.....)>=(..常數..)^2
*變化型* (1) y=a*cosx+b*sinx (三角函數疊合另解)
cos^2x+sin^2x=1
(2) 方向角 i j k y=a*cosi+b*cosj+c*cosk
y=a*sini+b*sinj+c*sink
cos^2i+cos^2j+cos^2k=1 sin^2i+sin^2j+sin^2k=2
〔題型四〕算術平均數大於等於幾何平均數 "相乘"與"相加"的極值
(a+b+c+....)/n >= (abc...)^(1/n) (a b c d >0)
*變化型* (1) a+b+c vs a^i*b^j*c^k
[(a/i+a/i+..)+(b/j+.)+(c/k+.)]/(i+j+k)>=[(a/i)^i*(b/j)^j*(c/k)^k]^(1/(i+j+k))
(2) a*b*c vs i*a+j*b+k*c
(3) a^z+a^-z (a^z+a^-z)/2>=(1)^0.5
〔題型五〕 三角函數的疊合(和角公式) (可用柯西較快速，求等號成立條件)
y=a*sin(x)+b*cos(x)
*變化型* y=a*cos^2(x)+b*sin(x)*cos(x)+c*sin^2(x) 兩倍角型
y=a(sin(x)+-cos(x))+b*sin(x)*cos(x) 三角函數疊合混合拋物線型
令t=sin(x)+-cos(x)
〔題型六〕 幾何型 曲線上某一點有極值(動點)
作圖法(較直觀易判斷錯誤)：用作圖判斷該點位置
相切處(較直觀易判斷錯誤)：判別式為零或其他相切公式或定理
參數式：利用參數式來求，會變成其他題型
*特殊型* 必用幾何解法
(1)兩點在一直線同側，求線上一點使得距離和為最小值
(2)兩點在一直線異測，求線上一點是得距離差絕對值為最大
〔題型七〕線性規劃型 (線性不等式)
法一：可代個交點求極大極小值
法二：將目標函數令為ｋ，利用ｋ所代表的y軸截距或斜率來判斷極值發生處
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※ 編輯: alamabarry 來自: 218.171.215.125 (06/20 12:06)
1F：推 etkj2000tw:整理得真好 大推~~~ 06/20 17:30
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2F：推 etkj2000tw:借轉喔^^ 06/20 17:32
3F：→ TwoOneboy:還有好幾種類型 但其實分這麼多類沒意義 06/21 00:41
4F：→ TwoOneboy:知道配方 算幾 柯西 微分就可 其他題型硬扯進來反而難記 06/21 00:42
5F：推 alamabarry:幾何解法有他的優點阿...計算快速..有些不用幾何很難算 06/21 02:59
6F：推 alamabarry:整理不同變化型只是訓練反應及辨別能力.. 06/21 03:03
7F：→ alamabarry:不同分類只是為了同質性一併編入的 06/21 03:06
※ 編輯: alamabarry 來自: 218.171.215.125 (06/21 03:29)
8F：→ TwoOneboy:可以加個判別式法 再加入絕對值連加的那種 06/21 03:40
9F：→ TwoOneboy:另外幾何解法可以分細一點 幾何解法範圍太廣了 06/21 03:41
10F：→ TwoOneboy:另外其實積分也可以用來算面積的極大極小值 06/21 03:42
11F：→ TwoOneboy:但我覺得這些都是不同題目耶 湊在一起我反而會混淆 06/21 03:43
12F：→ TwoOneboy:我上面不是說幾何解法沒必要啦 而是說幾何解法的題目 06/21 03:53
13F：→ TwoOneboy:很明顯和代數的題目不同 如果是代數的題目 06/21 03:53
14F：→ TwoOneboy:才比較有需要去考慮要什麼麼解法 而其他題型幾乎都是一 06/21 03:54
15F：→ TwoOneboy:種題目對應一兩種解法 而那解法也是其他題目較少用到的 06/21 03:55
16F：→ TwoOneboy:所以把這一大堆解法歸類在一起 我覺得太過龐雜 06/21 03:56
17F：→ TwoOneboy:當然 說了這麼多 還是很肯定原po整理出這一篇的用心~~ 06/21 04:02
18F：推 alamabarry:感謝你的意見..判別視法我歸類為幾何法.. 06/21 10:03
19F：推 alamabarry:在相切的特性...可是我覺得這法稍直觀.. 06/21 10:06
20F：→ alamabarry:線性的比較不容易出錯 06/21 10:07
21F：→ alamabarry:幾何的問題參數解法就會回到代數..我覺的都可以用 06/21 10:07
22F：→ alamabarry:可能大家習慣不一樣吧...我喜歡把相似的東西歸類.. 06/21 10:11
23F：→ alamabarry:寫出他較廣義的題型.這樣我在教學上比較不會漏掉 06/21 10:11
24F：→ alamabarry:也可以很迅速的知道大概的方向.久沒碰有時候會忘記題型 06/21 10:12
25F：→ alamabarry:@@還有我在整理後才發現疊合好像跟科西有關西.. 06/21 10:14
26F：→ alamabarry:這我沒想過~~不知道大家覺得哪一種比較好呢? 06/21 10:14
27F：→ alamabarry:柯西可能在判斷極大極小條件會有點點問題吧.. 06/21 10:15
28F：→ TwoOneboy:當θ有範圍限制 就無法用柯西了 所以疊合還是要學 06/21 16:26
29F：→ TwoOneboy:另外我說的判別式法 是y=(2x-3)/(3x^2+2x-5) 這類 06/21 16:26
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