作者alamabarry (123)
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标题[教材] 高中数学 极大值极小值题型归纳
时间Tue Jun 19 22:54:18 2007
来分享极大极小值题型的分类与解题方法
希望版上的人能帮我补足我漏掉的地方
遇到题目求最大或最小值大致可以往几个方向去找
才不会遇到无从下手
〔题型一〕 抛物线型（二次多项式型）
y=ax^2+bx+c
配方法求解
*变化型* (1) x有范围限制时
(2) x改写成sin(z) -1<=x<=1
(3) x改写成log(z) x没有范围限制 z>0
(4) x改写成z^2 x>=0
(5) x=sin(z)+-cos(z) -2^0.5 <=x<=2^0.5 (混合叠合或科西)
(6) x=a^z+a^-z x>=2 (混合算机不等式)
(7) x=a^z x>0
〔题型二〕 高次多项式型
y=a+bx+cx^2+dx^3+e........
利用微分为零求极大极小值
〔题型三〕 科西不等式 (内积) "相加"与"相加"的极值
平方ｖｓ一次型： (ax^2+....)(..常数..)>=(bx+.....)^2
一次ｖｓ倒数型： (ax+......)(bx+.....)>=(..常数..)^2
*变化型* (1) y=a*cosx+b*sinx (三角函数叠合另解)
cos^2x+sin^2x=1
(2) 方向角 i j k y=a*cosi+b*cosj+c*cosk
y=a*sini+b*sinj+c*sink
cos^2i+cos^2j+cos^2k=1 sin^2i+sin^2j+sin^2k=2
〔题型四〕算术平均数大於等於几何平均数 "相乘"与"相加"的极值
(a+b+c+....)/n >= (abc...)^(1/n) (a b c d >0)
*变化型* (1) a+b+c vs a^i*b^j*c^k
[(a/i+a/i+..)+(b/j+.)+(c/k+.)]/(i+j+k)>=[(a/i)^i*(b/j)^j*(c/k)^k]^(1/(i+j+k))
(2) a*b*c vs i*a+j*b+k*c
(3) a^z+a^-z (a^z+a^-z)/2>=(1)^0.5
〔题型五〕 三角函数的叠合(和角公式) (可用柯西较快速，求等号成立条件)
y=a*sin(x)+b*cos(x)
*变化型* y=a*cos^2(x)+b*sin(x)*cos(x)+c*sin^2(x) 两倍角型
y=a(sin(x)+-cos(x))+b*sin(x)*cos(x) 三角函数叠合混合抛物线型
令t=sin(x)+-cos(x)
〔题型六〕 几何型 曲线上某一点有极值(动点)
作图法(较直观易判断错误)：用作图判断该点位置
相切处(较直观易判断错误)：判别式为零或其他相切公式或定理
参数式：利用参数式来求，会变成其他题型
*特殊型* 必用几何解法
(1)两点在一直线同侧，求线上一点使得距离和为最小值
(2)两点在一直线异测，求线上一点是得距离差绝对值为最大
〔题型七〕线性规划型 (线性不等式)
法一：可代个交点求极大极小值
法二：将目标函数令为ｋ，利用ｋ所代表的y轴截距或斜率来判断极值发生处
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◆ From: 218.171.208.177
※ 编辑: alamabarry 来自: 218.171.215.125 (06/20 12:06)
1F：推 etkj2000tw:整理得真好 大推~~~ 06/20 17:30
※ etkj2000tw:转录至看板 RESIT 06/20 17:32
2F：推 etkj2000tw:借转喔^^ 06/20 17:32
3F：→ TwoOneboy:还有好几种类型 但其实分这麽多类没意义 06/21 00:41
4F：→ TwoOneboy:知道配方 算几 柯西 微分就可 其他题型硬扯进来反而难记 06/21 00:42
5F：推 alamabarry:几何解法有他的优点阿...计算快速..有些不用几何很难算 06/21 02:59
6F：推 alamabarry:整理不同变化型只是训练反应及辨别能力.. 06/21 03:03
7F：→ alamabarry:不同分类只是为了同质性一并编入的 06/21 03:06
※ 编辑: alamabarry 来自: 218.171.215.125 (06/21 03:29)
8F：→ TwoOneboy:可以加个判别式法 再加入绝对值连加的那种 06/21 03:40
9F：→ TwoOneboy:另外几何解法可以分细一点 几何解法范围太广了 06/21 03:41
10F：→ TwoOneboy:另外其实积分也可以用来算面积的极大极小值 06/21 03:42
11F：→ TwoOneboy:但我觉得这些都是不同题目耶 凑在一起我反而会混淆 06/21 03:43
12F：→ TwoOneboy:我上面不是说几何解法没必要啦 而是说几何解法的题目 06/21 03:53
13F：→ TwoOneboy:很明显和代数的题目不同 如果是代数的题目 06/21 03:53
14F：→ TwoOneboy:才比较有需要去考虑要什麽麽解法 而其他题型几乎都是一 06/21 03:54
15F：→ TwoOneboy:种题目对应一两种解法 而那解法也是其他题目较少用到的 06/21 03:55
16F：→ TwoOneboy:所以把这一大堆解法归类在一起 我觉得太过庞杂 06/21 03:56
17F：→ TwoOneboy:当然 说了这麽多 还是很肯定原po整理出这一篇的用心~~ 06/21 04:02
18F：推 alamabarry:感谢你的意见..判别视法我归类为几何法.. 06/21 10:03
19F：推 alamabarry:在相切的特性...可是我觉得这法稍直观.. 06/21 10:06
20F：→ alamabarry:线性的比较不容易出错 06/21 10:07
21F：→ alamabarry:几何的问题参数解法就会回到代数..我觉的都可以用 06/21 10:07
22F：→ alamabarry:可能大家习惯不一样吧...我喜欢把相似的东西归类.. 06/21 10:11
23F：→ alamabarry:写出他较广义的题型.这样我在教学上比较不会漏掉 06/21 10:11
24F：→ alamabarry:也可以很迅速的知道大概的方向.久没碰有时候会忘记题型 06/21 10:12
25F：→ alamabarry:@@还有我在整理後才发现叠合好像跟科西有关西.. 06/21 10:14
26F：→ alamabarry:这我没想过~~不知道大家觉得哪一种比较好呢? 06/21 10:14
27F：→ alamabarry:柯西可能在判断极大极小条件会有点点问题吧.. 06/21 10:15
28F：→ TwoOneboy:当θ有范围限制 就无法用柯西了 所以叠合还是要学 06/21 16:26
29F：→ TwoOneboy:另外我说的判别式法 是y=(2x-3)/(3x^2+2x-5) 这类 06/21 16:26
※ 编辑: alamabarry 来自: 218.171.210.163 (06/21 18:39)