※ 引述《armopen (考個沒完)》之銘言： : 1.年級： 高中二年級 : 2.科目： 數學 : 3.章節： 龍騰版，第四冊第三章第二節，機率的性質 : 4.題目： (1) 袋中有紅球 4 個，白球 3 個，黑球 2 個，今由袋中每次取一球， : 取後不放回，取完為止。 試求紅球比黑球先取完的機率？ : (2) 從一副撲克牌中隨機取出五張 (設每張牌被取的機會均等)， : 試求 (a) 五張牌三張點數相同，另二張不同點數的機率。 : (b) 五張牌恰有 2 張牌點數相同的機率。 : 5.想法： : (1) 已知的解法： : 樣本空間的情形數 n(S) = 9! : 所求事件 A 的情形數 n(A) = C(9,6) x C(2,1) x 5! x 3! : 故 P(A) = n(A)/n(S) = (1/3) : 學生想到的辦法： : 只考慮 紅球 4 個 與 黑球 2 個的排列當作樣本空間的情形數 : n(S) = 6!，而考慮的事件為有一個黑球在這六個球裡面放最後一個的 : 情形數，故情形數 n(B) = C(2,1) x 5!，故機率為 : P(B) = n(B)/n(S) = 2/6 = 1/3 ，請問這樣作對嗎？ 若錯，又錯在 : 哪裡？ 這只是剛好，還是這個想法也行得通？ 關鍵在於：題目問的是...取後不放回，而「紅球比黑球先取完」的機率？ 這句話簡直等價於：干白球啥麼事？ 白球究竟幾顆，或是它「取排」造成的效應... 這僅僅只反映在樣本空間S和A事件的可能個數， 但卻無以影響「紅球比黑球先取完」的機率， 誇張一點，把原題目改寫成9994顆白球好了， C(10000,6)C(2,1)5!9994! P(A)＝------------------------＝1/3 10000! 影響「紅球比黑球先取完」機率的因素， 很顯然在於紅球與黑球的個數....跟白球個數無關 紅球每多一顆，可得機率遞減的趨勢是：2/6→2/7→2/8→2/9..... 而白球個數就算少到一個都沒有， 或是多到像太平洋的水分子一樣多也不影響... 你甚至可以想像空氣分子就是白球，數目之多無法想像... 動作快如閃電，一秒取球一百萬次好了 千百年後終會取到色球， 除了取色球動作變的極為緩慢，這和沒白球的情形又有什麼不一樣呢？ 黑球放置在最後一個位置的機率，就是1/3 （4紅2黑的前提） 請再回去看看我開宗明義的第一句話... : (2) 看不懂書上的解法： 我知道基本想法是先選點數，再選花色 : 我的疑問是下面底線的部分。 : (a) 五張牌三張點數相同，另二張不同點數： 即點數形如 xxx, y, z : 此事件情形數為 C(13,1) x C(4,3) x C(12,1) x C(4,2) : (b) 五張牌恰有 2 張牌點數相同的機率： 即點數形如 xx, y, z, w : 此事件情形數為 C(13,1) x C(4,2) x C(12,1) x C(4,1) : x C(11,1) x C(4,1) x C(10,1) x C(4,1) / 3! : ^^^^^^？ : 為何要除以 3! ，請問理由是什麼，謝謝ꄊ 可否回答一下.... 12種水果，選3種的所有可能，要怎麼算？ Ans:C(12,3) 12種水果，選3種去排列的所有可能，要怎麼算？ Ans：12x11x10 水果問題，和你所提的撲克牌，形式和本質上又有什麼差異呢？ 從你的提問足以見微知著了，訝異的是...這竟是你思考過後的問題癥結？！ 原諒我口氣重了些，你可是老師呢！ 觀念怎麼可以如此貧弱，這樣的不紮實？！ 基本題型尚且如此，如何引領學生面對千奇百怪的變幻？ 但願你是一時的糊塗，若非如此....那確有深切檢討的必要了.... ---------- 以下是題外話... 高中數學有很多題目確實是疊床架屋、拐彎抹角、乃至於靈活變幻的 非有過人的才智不容易獨立破題的， 我們不可能要求學生具備有水平式聯想、馬鞍式跳躍般的突破性思考 因為這點我們也做不到.... 以第一題為例，原題我若改成： 紅球多到要幾顆，比黑球先取完的機率才會低於1﹪？ 稍微拐個小彎就成了所謂的活用題....不是嗎？ 但那又怎樣？！ 只要緊抓著紮實觀念不放， 終會認清這一切只是塗脂抹粉過後的煙霧彈而已.... 一個稱職的數學老師， 該引領學生去作的...不是盡去學些奇技淫巧、賣弄著粉拳繡腿 而是一切從基本做起：「化繁為簡，以簡御繁」 這有賴於從大量題目演練後而得的慎思明辨、潛心歸納， 寓於紮實縝密、通透明晰的基本觀念.... 對於並非天才的我們與學生，別無他法了.... --

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