※ 引述《freehunter (freehunter)》之銘言： : 十分贊同您的說法，可是假使今天是教餘弦定理， : 我怎麼套用您的方法？？ : 就像推文所說，其實我本身是能習慣，定義＝>定理=>證明=>習題 : 這種學習方式的，只要這些東西之間的連接性夠有邏輯性，就是不會習題不對定理 : 可是我承認，這種方法用在教學，除了花時間外，效果似乎也不太好。 : 之前去上課，解某一題，要用到餘弦定理， : 我把定理寫給學生看，問她有沒有看過？ : 她說沒有，（可是她已經高二） : 她問我為什麼會對？ : 我說，光這樣看可能很陌生，先看看直角三角形的情況， : 然後我就不會教了XD，我找不出其他的例子或方法去說服她，這個定理是對的 : 因為我覺得要我當場寫證明，我也不會，及使有證明，也不會瞭解比較多， : 後來她說要全部重新教， : 一個禮拜兩堂課，一次高一，一次高二，每次兩小時 : 我高一的從三角開始教，又要遇到相同的問題了CC : 不過按照blue大大的講法，向量教起來的確是輕鬆愉快呀 首先你提到你可以習慣定義＝>定理=>證明=>習題這樣的走法， 我覺得這可商榷，每個學生的學習情況不同，有的學生的確能夠從證明過程中 感受到背後隱藏的意義跟數理邏輯，進而感受到數學之美。 不過對多數學生來講，或者是您例子中的學生來講，我想他們肯定就感受 不到這回事了。所以抓出定義背後的數理邏輯是很重要的。 以三角函數來講好了。三角學源自希臘羅馬，經過數學史上大師們的修正， 到了牛頓時代漸臻完備。高中數學的三角函數終至de Moivre's Theorem， 接下來可以銜接複數。如果把數學上的各個觀念以時代來排，三角函數來自 希羅時代，相當於論語孟子的時代。微積分來自十七世紀，可以比喻做明朝的 各種章回小說。線性規劃在美軍二戰規劃轟炸機路線時發揚光大，以時代來排 跟魯迅差不多。 高中三角函數生硬不近人情是很正常的，這些理論不但不是近現代的發現， 更經過歷來數學家們的修飾鑽研。就好像一本四書集註，來自古老的春秋時代， 又被歷代學者添補注釋。但是對高中生來講，仍然有三個學好三角的理由： 一、For Geometry，這是第二章的重點，這一點之後再說。 二、For Physics，力學裡面使用的語言包含了太多三角函數，不能不學。 三、For Algebra，這就是de Moivre's theorem，也就是第三章的重點。 撇開第三章不看，因為你專門提到余弦定理，這是第二章，這個定理背後也有 意義跟精神嗎？有的。 正弦定理是一個從圓畫出來的定理，跟余弦無關。跟余弦有關的，是三角函數 基本定義的三角六邊型。教完三角六邊型的定義以後，就可以進入投影公式。 投影公式湊一湊，就可以推出余弦定理。 可是從投影公式湊余弦定理的過程，完全看不出邏輯之所在，彷彿是天外飛來一筆 的相消。沒關係，我們先把余弦定理的兩個型態寫出來： 邊平等於夾平加夾平減二夾夾cos夾 cos夾等於二夾夾分之夾平加夾平減邊平 例如：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc 這個公式有什麼用呢？讓我們回到國中幾何。三角形的全等性質有SSS，SAS，AAS， ASA，RHS；而SSA則提供了兩組不一樣的解，如果該A是鈍角，則全等，若是銳角， 則可能全等可能是另一組不全等的解。 無論如何，三角形的全等性質有個特色：三角形的三邊三角共六個值當中，只要取得 其中三個〈當然要至少有一個是S，AAA只能做出相似〉，就可以確定三角形的形狀。 既然可以確定其形狀，另外的三個值就是定值。這在四邊型等形狀當中是沒有的， 四邊型即使確定了SSSS，也無法確定角度。 既然知三可以確定另外三個，那麼另外三個就變成「可求」了。如果是國中，我們會把 圖畫出來，就可以解得其他三個條件。可是到了高中就不用那麼麻煩.... 對，就是我們剛剛玩的余弦定理。發現了嗎？SSS，SAS，SSA，都可以利用余弦定理 來解出其他三個條件。AAS，ASA，則可以利用正弦定理來解出其他三個條件。 為什麼我們要把投影公式的左邊各自乘上a,b,c，並且整理出余弦定理呢？ 因為這是一個「只用到三角形中四個條件」的恆等式〈未整理前的投影公式 整整用了六個條件〉！靠余弦定理，就可以湊出三角形的全貌───即使你只有 三個條件，也可以完整的列出六個條件！〈角度的地方有時要藉查表輔助〉 這一段的公式的確不像數的那一章，公式背後直接充滿了豐富的數學意像， 但是反過來想，沒有豐富數學意像的東西還能進課本，當然是因為它具有強大的實用性。 從她實用的地方，下去連結學生學過的東西，你就不難解釋為什麼我們要教授 這個觀念了。事實上，第二章的所有公式綜合起來用〈還包括海龍，平行四邊型 等等定理〉，可以把一個三角形從三邊長、三角度、直到外接圓半徑，內切圓半徑， 面積、中線長，分角線長通通都算出來。簡而言之，第二章的三角函數是一個 「用三角函數完整算出國中幾何所教的所有資訊」的工具集。 〈其實這在課本當中也被列為獨立的一節，稱做「解三角形」〉 〈正因為可以解出三角形所有資訊，測量的意義才會那麼大〉 其實大多數的公式背後絕對都找得到「數學的騷味」，只是有的濃有的淡罷了。 把這樣的東西找出來，絕對是倍添教與學的樂趣的，更可以讓學生的數學感覺更加敏銳。 而數學的騷味在哪裡，其實隨著每個人的經驗不同，體悟也會不同。 如果教數學的時候多點用心，我相信你也可以找到你專用的教學方式。 -- ?? \("▔□▔)/ --

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