※ 引述《freehunter (freehunter)》之铭言： : 十分赞同您的说法，可是假使今天是教余弦定理， : 我怎麽套用您的方法？？ : 就像推文所说，其实我本身是能习惯，定义＝>定理=>证明=>习题 : 这种学习方式的，只要这些东西之间的连接性够有逻辑性，就是不会习题不对定理 : 可是我承认，这种方法用在教学，除了花时间外，效果似乎也不太好。 : 之前去上课，解某一题，要用到余弦定理， : 我把定理写给学生看，问她有没有看过？ : 她说没有，（可是她已经高二） : 她问我为什麽会对？ : 我说，光这样看可能很陌生，先看看直角三角形的情况， : 然後我就不会教了XD，我找不出其他的例子或方法去说服她，这个定理是对的 : 因为我觉得要我当场写证明，我也不会，及使有证明，也不会了解比较多， : 後来她说要全部重新教， : 一个礼拜两堂课，一次高一，一次高二，每次两小时 : 我高一的从三角开始教，又要遇到相同的问题了CC : 不过按照blue大大的讲法，向量教起来的确是轻松愉快呀 首先你提到你可以习惯定义＝>定理=>证明=>习题这样的走法， 我觉得这可商榷，每个学生的学习情况不同，有的学生的确能够从证明过程中 感受到背後隐藏的意义跟数理逻辑，进而感受到数学之美。 不过对多数学生来讲，或者是您例子中的学生来讲，我想他们肯定就感受 不到这回事了。所以抓出定义背後的数理逻辑是很重要的。 以三角函数来讲好了。三角学源自希腊罗马，经过数学史上大师们的修正， 到了牛顿时代渐臻完备。高中数学的三角函数终至de Moivre's Theorem， 接下来可以衔接复数。如果把数学上的各个观念以时代来排，三角函数来自 希罗时代，相当於论语孟子的时代。微积分来自十七世纪，可以比喻做明朝的 各种章回小说。线性规划在美军二战规划轰炸机路线时发扬光大，以时代来排 跟鲁迅差不多。 高中三角函数生硬不近人情是很正常的，这些理论不但不是近现代的发现， 更经过历来数学家们的修饰钻研。就好像一本四书集注，来自古老的春秋时代， 又被历代学者添补注释。但是对高中生来讲，仍然有三个学好三角的理由： 一、For Geometry，这是第二章的重点，这一点之後再说。 二、For Physics，力学里面使用的语言包含了太多三角函数，不能不学。 三、For Algebra，这就是de Moivre's theorem，也就是第三章的重点。 撇开第三章不看，因为你专门提到余弦定理，这是第二章，这个定理背後也有 意义跟精神吗？有的。 正弦定理是一个从圆画出来的定理，跟余弦无关。跟余弦有关的，是三角函数 基本定义的三角六边型。教完三角六边型的定义以後，就可以进入投影公式。 投影公式凑一凑，就可以推出余弦定理。 可是从投影公式凑余弦定理的过程，完全看不出逻辑之所在，彷佛是天外飞来一笔 的相消。没关系，我们先把余弦定理的两个型态写出来： 边平等於夹平加夹平减二夹夹cos夹 cos夹等於二夹夹分之夹平加夹平减边平 例如：cosA = (b^2 + c^2 - a^2) / 2bc 这个公式有什麽用呢？让我们回到国中几何。三角形的全等性质有SSS，SAS，AAS， ASA，RHS；而SSA则提供了两组不一样的解，如果该A是钝角，则全等，若是锐角， 则可能全等可能是另一组不全等的解。 无论如何，三角形的全等性质有个特色：三角形的三边三角共六个值当中，只要取得 其中三个〈当然要至少有一个是S，AAA只能做出相似〉，就可以确定三角形的形状。 既然可以确定其形状，另外的三个值就是定值。这在四边型等形状当中是没有的， 四边型即使确定了SSSS，也无法确定角度。 既然知三可以确定另外三个，那麽另外三个就变成「可求」了。如果是国中，我们会把 图画出来，就可以解得其他三个条件。可是到了高中就不用那麽麻烦.... 对，就是我们刚刚玩的余弦定理。发现了吗？SSS，SAS，SSA，都可以利用余弦定理 来解出其他三个条件。AAS，ASA，则可以利用正弦定理来解出其他三个条件。 为什麽我们要把投影公式的左边各自乘上a,b,c，并且整理出余弦定理呢？ 因为这是一个「只用到三角形中四个条件」的恒等式〈未整理前的投影公式 整整用了六个条件〉！靠余弦定理，就可以凑出三角形的全貌───即使你只有 三个条件，也可以完整的列出六个条件！〈角度的地方有时要藉查表辅助〉 这一段的公式的确不像数的那一章，公式背後直接充满了丰富的数学意像， 但是反过来想，没有丰富数学意像的东西还能进课本，当然是因为它具有强大的实用性。 从她实用的地方，下去连结学生学过的东西，你就不难解释为什麽我们要教授 这个观念了。事实上，第二章的所有公式综合起来用〈还包括海龙，平行四边型 等等定理〉，可以把一个三角形从三边长、三角度、直到外接圆半径，内切圆半径， 面积、中线长，分角线长通通都算出来。简而言之，第二章的三角函数是一个 「用三角函数完整算出国中几何所教的所有资讯」的工具集。 〈其实这在课本当中也被列为独立的一节，称做「解三角形」〉 〈正因为可以解出三角形所有资讯，测量的意义才会那麽大〉 其实大多数的公式背後绝对都找得到「数学的骚味」，只是有的浓有的淡罢了。 把这样的东西找出来，绝对是倍添教与学的乐趣的，更可以让学生的数学感觉更加敏锐。 而数学的骚味在哪里，其实随着每个人的经验不同，体悟也会不同。 如果教数学的时候多点用心，我相信你也可以找到你专用的教学方式。 -- ?? \("▔□▔)/ --

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