※ 引述《jubilee (Liang)》之銘言： : 1. 英文是mathematical induction....所以的確是演繹法 : 中文有誤導之嫌 數學歸納法的本質就是演繹，並不是歸納.... 數學歸納法可以用來證明定理， 但對於定理（公式）當初如何得來的，卻無法提供任何提示.... 關於這一點，以後我有機會再寫專文討論.... 數學歸納法要講的稍微詳細，那肯定是非要寫成一本小書才做的到 形式上有很多種面相與變形， 包括逆向數學歸納法、強數學歸納法、彈跳式的數學歸納法...等等 我的學識很貧弱，表達更是不堪....一本小書是不可能了 到時寫個短篇專文聊表己見，倒勉強是可勝負荷.... : 2. 數學歸納法的應用範圍不完全是自然數 數學歸納法是利用自然數系性質去證明定理的『特殊證明方法』 說法是這樣： ----------------------------------------- 令A_n為一敘述且與自然數 n 有關 1.對某一自然數n_1，A_n_1成立（n_1不一定必須是1），且 2.對每一正整數 k≧n_1，若 A_k成立可『演繹』出A_k+1成立 便可能對於所有 n≧n_1，敘述A_n皆成立 ----------------------------------------- : 數學歸納法的過程為 : a. 證明n=某數時 等式成立（某數必須為實數） ^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ : b. 假設n=k時等式成立 ^^^^ : c. 由b證明n=k+t時也成立（t並不限於1 只要是實數即可） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 以上做記號的地方均有誤... ------------------------------------------------- 我們不能自己任意把數學歸納法使用直覺去陳述 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 除非我們『新的陳述』可以證明跟數學歸納法（Peano第五公設）等價 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 數學歸納法完全等價於自然數系的『良序性原理』（well-ordering property） 自然數系非空子集必有最小元素，稱為自然數系的『良序性原理』， 例如：｛2，3，7，199｝具有最小元素 2） 由此可見自然數系良序性原理相當直觀，基本上他可以是個公設。 當我們接受他是公設時，可以拿來證明數學歸納法 換句話說，數學歸納法在某個公設系統的觀點下是要『被證明』的... 當然也可以反向論證，最後得到等價敘述的結論.... 數學歸納法許許多多面相的敘述，都需要被證明為等價後方可使用 也因此一旦使用後就不可以隨意更改其文字內涵與精神 實數不具備良序性原理，而『正有理數』有良序性，但無後繼者， 閣下的說法，無異於提出了一個數學定理的『假設』， 但將會被推翻是可以預期的... 原因討論起來雖非長篇大論，卻也不是三言兩語就可以解決... 請恕我暫且停筆，容他日再多嘴了.... : Ex. 要證明n^2>3*n 明顯可知n必須大於三 這個例子對於 n＞3的實數均成立 不可使用數學歸納法，因為數學歸納法的本質在於自然數系的性質 實數系的基數＞自然數系的基數 （可以想像實數的骨牌多於自然數的骨牌，用自然數的骨牌推不完實數的骨牌） 本題不適用數學歸納法，可使用直接證明法證明之.... : 3. 數學歸納法一次只能證明一邊（往右或往左） : 使用兩次可拓展至負無限大到正無限大 原則上是可以的，最好是舉例子出來... 通常對於整數成立的定理，我所知道的都是用直接證明法（這很可能是我的孤陋） 雖然我沒親眼看過這種數學歸納法的例子... 不過在下以為.....對於整數恆成立的例子，若要使用數歸去證明... 定理本質上該是有對稱的性質 因此使用兩次數學歸納法跟一次並沒有什麼不同， 所以變成只是....原命題加個絕對值的問題而已..... 若是沒有對稱性，自然以很難『歸納』出什麼結論 使用 直接證明法 或 間接證明法（歸謬法）是反射性的直覺吧！ --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.110.216 ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.110.216 (04/04 10:38)