※ 引述《jubilee (Liang)》之铭言： : 1. 英文是mathematical induction....所以的确是演绎法 : 中文有误导之嫌 数学归纳法的本质就是演绎，并不是归纳.... 数学归纳法可以用来证明定理， 但对於定理（公式）当初如何得来的，却无法提供任何提示.... 关於这一点，以後我有机会再写专文讨论.... 数学归纳法要讲的稍微详细，那肯定是非要写成一本小书才做的到 形式上有很多种面相与变形， 包括逆向数学归纳法、强数学归纳法、弹跳式的数学归纳法...等等 我的学识很贫弱，表达更是不堪....一本小书是不可能了 到时写个短篇专文聊表己见，倒勉强是可胜负荷.... : 2. 数学归纳法的应用范围不完全是自然数 数学归纳法是利用自然数系性质去证明定理的『特殊证明方法』 说法是这样： ----------------------------------------- 令A_n为一叙述且与自然数 n 有关 1.对某一自然数n_1，A_n_1成立（n_1不一定必须是1），且 2.对每一正整数 k≧n_1，若 A_k成立可『演绎』出A_k+1成立 便可能对於所有 n≧n_1，叙述A_n皆成立 ----------------------------------------- : 数学归纳法的过程为 : a. 证明n=某数时 等式成立（某数必须为实数） ^^^^ ^^^^^^^^^^^^^ : b. 假设n=k时等式成立 ^^^^ : c. 由b证明n=k+t时也成立（t并不限於1 只要是实数即可） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 以上做记号的地方均有误... ------------------------------------------------- 我们不能自己任意把数学归纳法使用直觉去陈述 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 除非我们『新的陈述』可以证明跟数学归纳法（Peano第五公设）等价 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 数学归纳法完全等价於自然数系的『良序性原理』（well-ordering property） 自然数系非空子集必有最小元素，称为自然数系的『良序性原理』， 例如：｛2，3，7，199｝具有最小元素 2） 由此可见自然数系良序性原理相当直观，基本上他可以是个公设。 当我们接受他是公设时，可以拿来证明数学归纳法 换句话说，数学归纳法在某个公设系统的观点下是要『被证明』的... 当然也可以反向论证，最後得到等价叙述的结论.... 数学归纳法许许多多面相的叙述，都需要被证明为等价後方可使用 也因此一旦使用後就不可以随意更改其文字内涵与精神 实数不具备良序性原理，而『正有理数』有良序性，但无後继者， 阁下的说法，无异於提出了一个数学定理的『假设』， 但将会被推翻是可以预期的... 原因讨论起来虽非长篇大论，却也不是三言两语就可以解决... 请恕我暂且停笔，容他日再多嘴了.... : Ex. 要证明n^2>3*n 明显可知n必须大於三 这个例子对於 n＞3的实数均成立 不可使用数学归纳法，因为数学归纳法的本质在於自然数系的性质 实数系的基数＞自然数系的基数 （可以想像实数的骨牌多於自然数的骨牌，用自然数的骨牌推不完实数的骨牌） 本题不适用数学归纳法，可使用直接证明法证明之.... : 3. 数学归纳法一次只能证明一边（往右或往左） : 使用两次可拓展至负无限大到正无限大 原则上是可以的，最好是举例子出来... 通常对於整数成立的定理，我所知道的都是用直接证明法（这很可能是我的孤陋） 虽然我没亲眼看过这种数学归纳法的例子... 不过在下以为.....对於整数恒成立的例子，若要使用数归去证明... 定理本质上该是有对称的性质 因此使用两次数学归纳法跟一次并没有什麽不同， 所以变成只是....原命题加个绝对值的问题而已..... 若是没有对称性，自然以很难『归纳』出什麽结论 使用 直接证明法 或 间接证明法（归谬法）是反射性的直觉吧！ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.110.216 ※ 编辑: yonex 来自: 203.67.110.216 (04/04 10:38)