※ 引述《sendohandy (11..歡樂世紀板!!)》之銘言： : ※ 引述《sendohandy (11..歡樂世紀板!!)》之銘言： : : 今天一個教電學的老師問我，√√-16算出來應該是多少 : : 他說他的書，寫著√√-16 = (-16)^0.25 = ... = √2 + √2i : : 想請問大家，這樣的表示方法對嗎? : : 若不對，應該要怎樣表示呢? : ============================================================= : 首先是第一個等式，之前板上就討論過的，√√-16≠(-16)^0.25 : 再來是衍生出來的問題 : x^2 = 3 ，=> x = +-√3 : 則我們稱√3為x^2 = 3的"正平方根"，-√3為x^2 = 3的"負平方根" : ___ __ _ ____________ _ _ : 那麼，√√-16 = √4i = 2√i = 2√cos90+isin90 = 2(cos45+isin45) = √2+√2i : 則我們應該稱 √2+√2i為 x^4=-16的 "什麼"？ : 稱為正四次方根嗎？ : 可是複數不是沒有大小嗎，又何來的正負之分？ : 就當做另一個系列的　"老師，我有問題！" 吧～XD 首先 我們要想一想.... 複數一開始存在的必要性....乃是為了代數方程式解的完備化 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 數學家都年來始終逃避處理『虛數』，直到非歐幾何出現， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 改變人們對於數學本質的認識後，才有所改觀。 以前人們是怎麼誤會數學的本質呢？ 在這裡我願意花一點點篇幅來講解一下...歡迎大家提供批評與指教 以前的數學家誤解了數學的本質，他們以為.... 數學就是以自然界明顯的定理作出發點， 用論理學（logic，一般翻作邏輯學，這是殷海光老師當年的錯誤翻譯）的程序 在自然界導出更深一層的『真理』。 但是自從非歐幾何顯示他的重要性以後，數學家意會到： 原來他們過去只不過膚淺的選擇...過去似以為真的事實，幸運的導出有用的結果。 非歐幾何具有與歐氏幾何相反的公設，卻一樣能導出有用的結果！ 從上述揭示了一件可能：數學可以與『真理』無關，也不必要符合『真理』。 （『真理』本身就是一個權威性的名詞，根本上就該是數學精神所應撻伐的對象...） 數學的『真偽』並不重要，也沒有必要去相信哪一種幾何是真的！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 只要彼此獨立而相容的公設，根據公設演繹法推導出具有一致性、不互相矛盾的結論 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 那就是一種數學的分枝！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 構造無窮多種幾何、無窮多種數學分枝....這種可行性已經被明確地證明了 也就是說，原來....數學是『人造的』、『人為的』！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 即使像是自然數如此『天然的玩意』，都可能不是與生俱來的... 大數學家克羅克內（Kronecker）曾說： 『正整數是上帝的產物，其他都是人類的傑作！』 他或許錯了，因為連自然數似乎都是人造的，根據 Peano公設 而來的.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 既然基本的公設，以及由此導出來的定理都不是宇宙俱來的。 數學家只好承認：兩千年來，他們的確誤解了數學的本質！ 原來『數學的世界』跟『現實的宇宙無關』， 她是純粹由人類的理性所構造出來的產物！ 只存在於柏拉圖的天空....是個虛擬的理想國度 問題是：這個虛擬的國度為何能在現實的物理世界產生難以形容的高度應用性呢？ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 關於這個問題...其實是『有趣的』，各位如果有興趣...可以反應一下， 那我願意寫一篇文章來解釋這個『奇異的現象』，是怕沒有人要看而已....@@~ OK！經歷了非歐幾何的折衝後，改變對數學本質上的認識， 數學家體驗了一場新生的自由！（That's a great moment！） 不再以不理會或逃避的方式去處理數學.... 過去的幾何與數學既然有用，而他們也是『人為』設想出來的... 那麼其他的『人造物』或許也會一樣有用，因此接受了『虛數』... 不因它與物理直覺難以聯想結合，或是與所謂的『真理』不合而不予理會。 值此....高斯在弱冠之年證明了代數學基本定理： 『任何一個複係數一元多項式方程，必有一複數根！』 當年基於代數方程解的完備，複數的重要性立即顯示出來了。 如今，複變數分析已是數學分析上一個重要的科目！ OK！講了這麼多，我們現在回到複數，究竟什麼是複數？ 我們懂了一些，但是或許應該再多懂一點點.... （抱歉...我沒辦法在這裡講得太多，否則將會變成一本小書...@@~） 複數是一個『完備無序的賦距體』 完備我不想講了...會講不完......暫時當作沒有漏洞好了， 總之，我們對於實數的粗淺認知，就是完備，（詳情可見任一本高等微積分書籍） 無序就是沒有不等式，也就是不具備『有序公設』（order axiom） 『沒有不等式不代表沒有正負，這是兩碼子事情！』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 複數具有『距離構造』，都是一種賦距空間（集合） 複數沒有『大小』，因為複數沒有不等式， 但是可以定義一個複數 z＝a+ib 的模數（modulus）→∣z∣＝√（a^2+b^2）≧0 具有Lagrange恆等式與三角不等式 那什麼是體呢？（field） 所謂的體就是對『加』與『乘』這二元運算 具有 1.封閉律 2.結合律 3.具么律 4.可逆律 5.交換律 6.分配律 這樣的數系叫做體（field），『意味：身體具有四肢，可以加、減、乘、除』 我們知道有理數系是個體、實數系也是，如今我們要知道，複數系也是個體... 而自然數就不是體，他沒辦法加減乘除而不失自己 你看...例如： 2-3＝－1 不再是自然數， 同樣的整數也是，他沒辦法任意做除法而維持自己， 整數不是個體，而是個環（Ring）....在加法運算下是一個群（group） 但是整數在乘法運算下就不是群.... （再講下去會太抽象攏長，請容我就此打住了，這是一整年的課程...） 回到指數律：指數律是否對於體的任意元素依然成立呢？ 答案是『否』！ 我隨便舉一個例子：i＝(i^4)^(1/4)＝1 ....？！ 事實上我們可能並不是真的懂所謂的指數律（index law） 以下是數學的黑話....看看就好... ------------------------------------------------------------- 所謂的指數律（index law）：對於任意整數n、m，任意元素 a 屬於G（群）具有： (a^n)(a^m)＝a^(n+m) (a^n)^m＝a^(nm) 若a、b為交換群（或稱Abel group） 即ab＝ba 對於任意整數 n，有 (ab)^n＝(a^n)(b^n) ------------------------------------------------------------- 但是指數表達式無論是對於實數或是複數都是有定義的.... z^(1/n)的意思是：一複數 w 其n次方等於 z 也就是....z^(1/n)是方程式 w^n＝z 的一個解， 解這種方程式，我們通常會把複數先用極坐標式表達 z＝re^(iθ)， 而非直角坐標式表達 z＝a+ib.... 這個值（解）並非單值，有很多個...可由隸美弗（歐拉）定理得到.... z＝w^n＝re^iθ＝re^i(θ+2kπ)＝r〔cos(θ+2kπ)+isin(θ+2kπ)〕 z^(1/n)＝w＝r^(1/n)〔cos(θ/n+2kπ/n)+isin(θ/n+2kπ/n)〕 k＝0、1、2、3.....、n-1時，可得 n 個不同的 w 值 至於這些根...有必要用到什麼專有名字去命名嗎？ pricipal root！？ 第一次聽到....我想沒有這個必要吧！ 有點累了，等我想到什麼再寫吧！也歡迎各位的補充與指正... --

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