※ 引述《sendohandy (11..欢乐世纪板!!)》之铭言： : ※ 引述《sendohandy (11..欢乐世纪板!!)》之铭言： : : 今天一个教电学的老师问我，√√-16算出来应该是多少 : : 他说他的书，写着√√-16 = (-16)^0.25 = ... = √2 + √2i : : 想请问大家，这样的表示方法对吗? : : 若不对，应该要怎样表示呢? : ============================================================= : 首先是第一个等式，之前板上就讨论过的，√√-16≠(-16)^0.25 : 再来是衍生出来的问题 : x^2 = 3 ，=> x = +-√3 : 则我们称√3为x^2 = 3的"正平方根"，-√3为x^2 = 3的"负平方根" : ___ __ _ ____________ _ _ : 那麽，√√-16 = √4i = 2√i = 2√cos90+isin90 = 2(cos45+isin45) = √2+√2i : 则我们应该称 √2+√2i为 x^4=-16的 "什麽"？ : 称为正四次方根吗？ : 可是复数不是没有大小吗，又何来的正负之分？ : 就当做另一个系列的　"老师，我有问题！" 吧～XD 首先 我们要想一想.... 复数一开始存在的必要性....乃是为了代数方程式解的完备化 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 数学家都年来始终逃避处理『虚数』，直到非欧几何出现， ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 改变人们对於数学本质的认识後，才有所改观。 以前人们是怎麽误会数学的本质呢？ 在这里我愿意花一点点篇幅来讲解一下...欢迎大家提供批评与指教 以前的数学家误解了数学的本质，他们以为.... 数学就是以自然界明显的定理作出发点， 用论理学（logic，一般翻作逻辑学，这是殷海光老师当年的错误翻译）的程序 在自然界导出更深一层的『真理』。 但是自从非欧几何显示他的重要性以後，数学家意会到： 原来他们过去只不过肤浅的选择...过去似以为真的事实，幸运的导出有用的结果。 非欧几何具有与欧氏几何相反的公设，却一样能导出有用的结果！ 从上述揭示了一件可能：数学可以与『真理』无关，也不必要符合『真理』。 （『真理』本身就是一个权威性的名词，根本上就该是数学精神所应挞伐的对象...） 数学的『真伪』并不重要，也没有必要去相信哪一种几何是真的！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 只要彼此独立而相容的公设，根据公设演绎法推导出具有一致性、不互相矛盾的结论 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 那就是一种数学的分枝！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 构造无穷多种几何、无穷多种数学分枝....这种可行性已经被明确地证明了 也就是说，原来....数学是『人造的』、『人为的』！ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 即使像是自然数如此『天然的玩意』，都可能不是与生俱来的... 大数学家克罗克内（Kronecker）曾说： 『正整数是上帝的产物，其他都是人类的杰作！』 他或许错了，因为连自然数似乎都是人造的，根据 Peano公设 而来的.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 既然基本的公设，以及由此导出来的定理都不是宇宙俱来的。 数学家只好承认：两千年来，他们的确误解了数学的本质！ 原来『数学的世界』跟『现实的宇宙无关』， 她是纯粹由人类的理性所构造出来的产物！ 只存在於柏拉图的天空....是个虚拟的理想国度 问题是：这个虚拟的国度为何能在现实的物理世界产生难以形容的高度应用性呢？ ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 关於这个问题...其实是『有趣的』，各位如果有兴趣...可以反应一下， 那我愿意写一篇文章来解释这个『奇异的现象』，是怕没有人要看而已....@@~ OK！经历了非欧几何的折冲後，改变对数学本质上的认识， 数学家体验了一场新生的自由！（That's a great moment！） 不再以不理会或逃避的方式去处理数学.... 过去的几何与数学既然有用，而他们也是『人为』设想出来的... 那麽其他的『人造物』或许也会一样有用，因此接受了『虚数』... 不因它与物理直觉难以联想结合，或是与所谓的『真理』不合而不予理会。 值此....高斯在弱冠之年证明了代数学基本定理： 『任何一个复系数一元多项式方程，必有一复数根！』 当年基於代数方程解的完备，复数的重要性立即显示出来了。 如今，复变数分析已是数学分析上一个重要的科目！ OK！讲了这麽多，我们现在回到复数，究竟什麽是复数？ 我们懂了一些，但是或许应该再多懂一点点.... （抱歉...我没办法在这里讲得太多，否则将会变成一本小书...@@~） 复数是一个『完备无序的赋距体』 完备我不想讲了...会讲不完......暂时当作没有漏洞好了， 总之，我们对於实数的粗浅认知，就是完备，（详情可见任一本高等微积分书籍） 无序就是没有不等式，也就是不具备『有序公设』（order axiom） 『没有不等式不代表没有正负，这是两码子事情！』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 复数具有『距离构造』，都是一种赋距空间（集合） 复数没有『大小』，因为复数没有不等式， 但是可以定义一个复数 z＝a+ib 的模数（modulus）→∣z∣＝√（a^2+b^2）≧0 具有Lagrange恒等式与三角不等式 那什麽是体呢？（field） 所谓的体就是对『加』与『乘』这二元运算 具有 1.封闭律 2.结合律 3.具么律 4.可逆律 5.交换律 6.分配律 这样的数系叫做体（field），『意味：身体具有四肢，可以加、减、乘、除』 我们知道有理数系是个体、实数系也是，如今我们要知道，复数系也是个体... 而自然数就不是体，他没办法加减乘除而不失自己 你看...例如： 2-3＝－1 不再是自然数， 同样的整数也是，他没办法任意做除法而维持自己， 整数不是个体，而是个环（Ring）....在加法运算下是一个群（group） 但是整数在乘法运算下就不是群.... （再讲下去会太抽象拢长，请容我就此打住了，这是一整年的课程...） 回到指数律：指数律是否对於体的任意元素依然成立呢？ 答案是『否』！ 我随便举一个例子：i＝(i^4)^(1/4)＝1 ....？！ 事实上我们可能并不是真的懂所谓的指数律（index law） 以下是数学的黑话....看看就好... ------------------------------------------------------------- 所谓的指数律（index law）：对於任意整数n、m，任意元素 a 属於G（群）具有： (a^n)(a^m)＝a^(n+m) (a^n)^m＝a^(nm) 若a、b为交换群（或称Abel group） 即ab＝ba 对於任意整数 n，有 (ab)^n＝(a^n)(b^n) ------------------------------------------------------------- 但是指数表达式无论是对於实数或是复数都是有定义的.... z^(1/n)的意思是：一复数 w 其n次方等於 z 也就是....z^(1/n)是方程式 w^n＝z 的一个解， 解这种方程式，我们通常会把复数先用极坐标式表达 z＝re^(iθ)， 而非直角坐标式表达 z＝a+ib.... 这个值（解）并非单值，有很多个...可由隶美弗（欧拉）定理得到.... z＝w^n＝re^iθ＝re^i(θ+2kπ)＝r〔cos(θ+2kπ)+isin(θ+2kπ)〕 z^(1/n)＝w＝r^(1/n)〔cos(θ/n+2kπ/n)+isin(θ/n+2kπ/n)〕 k＝0、1、2、3.....、n-1时，可得 n 个不同的 w 值 至於这些根...有必要用到什麽专有名字去命名吗？ pricipal root！？ 第一次听到....我想没有这个必要吧！ 有点累了，等我想到什麽再写吧！也欢迎各位的补充与指正... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.73.225.224 ※ 编辑: yonex 来自: 203.73.225.224 (03/29 08:39)