抱歉 請原諒我的斷章取義 @@~ ※ 引述《waterworld0 ()》之銘言： : ※ 引述《yonex (諸法皆空)》之銘言： : 其實我覺得, 0.9 9循環跟數學歸納法, 壓根是不同領域的東西. : 一個領域的東西, 跑到另一邊, 有時候不一定apply的. 數學是有整體的相容性的有機體 一個領域的東西跑到另一邊，不能apply的....一定是哪裡出了問題 基於理性的態度 要把問題講出來 講的清清楚楚的... : 因為有時候使用的前提根本就不同嘛! 我剛剛去google : 可是沒有查到數學歸納法很嚴謹的証明, 因此這邊可能暫時找不到證據反駁你, child其實在推倒n＝k+1這一步，並沒有用到第k個骨牌去推 他是自己用外力（直覺）把n＝k+1這塊骨牌推倒的... 違反了數學歸納法的原理，這就問題的所在.... : 但是以下就我的了解來說明這兩個問題. : 數學一般而言, 分成continuous and discrete. : 中間有個叫做 concrete(continuous+discrete)的東西. : 我覺得0.9循環這個問題, 應該不是屬於離散數學, 而是屬於連續數學. : 在離散裡面, 數學歸納法無疑的是成立的. 但是在極限的討論上, 不一定是適用的. : 舉個很簡單的例子: 我們不妨考慮以下這兩個數列 : A_n = <1 - 1/n>, B_n = <1 - 2/n> : 無論你帶多少, A_n 很顯然都大於 B_n. 但是當n越來越大呢? : 或者更明確的說 當n趨近於無窮大, 這時候A_n跟B_n的大小關係變成如何呢? : 這時候居然會變成兩個相等耶! 啟不怪哉? : 但是, 你用數學歸納法, 無論怎麼證明, 永遠都會得到 A_n > B_n. : 這是天知地知你知我知的事情. 但是當n -> 無窮大 結果卻不一樣了. 這是怎麼一回事? limA_n＝limB_n＝1 與 A_n > B_n for all n 屬於自然數 這是兩碼子事情：一個是極限 一個是不等式 that's all : 從這個簡單的例子來說明就不難看出來了. : 極限可以不用是一個存在的東西, 因為他只是一個概念. 整個數學都是概念 都是不存在的 只是概念有深淺而已 但是...當一個人學問越深，淺的東西也會變深的 這是境界問題... : 或者用數學的語言來說, 他是一個bound. : 在數線上面, 一個數列越來越靠近這個bound的時候, 會越來越密, 但是始終不會等於. : 就像這世界上哪來無限多個9. 但是我們卻敢斷言 0.9, 9循環這個數等於1. : 其實我並不認為這是一個"數", 而是一個極限. 這個問題我回答過了 在14559篇 你可以參考看看... 其實 0.999999....這個數，可以定義為1 但是我們都同意 無論是公設或是定義 都是越少越好 0.999999....＝1是可以推導的（毫無神秘與不可知地，可參考蘇格拉底一文） 那我們就毋須把這個數定義為1 破壞了定義的獨立性應該盡量避免 : 因此我認為剛剛那個數學歸納法應該是不能使用的. : 極限是一種很抽象的東西, 高中剛開始學習的時候, 你會以為你自己懂了, : 但是到了大一, 你又會覺得你自己好像又不懂了, 以後再碰到, : 你又會覺得你自己好像懂了. 很多東西要講數學都會變的很難, : 我覺得極限算是一種相當抽象的概念, 當然只講計算是很容易的. : 就好比 lim ( A_n + B_n ) = lim A_n + lim B_n 這個是個簡單的不得了的結果 : n->無窮大 : 簡單到我高中的時候都覺得數學家寫出那麼白癡的東西幹啥, : 可是到了大二多看了一些數學又發現這個東西的重要性了. : 因此你說0.9, 9循環這個數字等不等於1 其實我建議你不妨考慮這個數列 : A_n = < 1 - (1/10)^n > 把他展開會變成 { 0.9, 0.99, 0.999, ---- } : 當n遞增的時候, 會越來越接近1. 當然如果你硬要說 他永遠都比1小當然也是可以的. : 但是無可否認的 : lim A_n 的確是等於1. : n->無窮大 : 或許書上跟我講的不一樣, 但是我還是想要重申, 就我的理解, 0.9 9循環的本身 : 並不是一個"具體的數字". : 認不認同我的看法, 就看你認不認同"< 1 - (1/10)^n >" 跟 "0.9, 9循環" : 是不是兩個等價的命題了. 我當然不認同 一個是數列 一個是數 怎麼可能等價敘述 數列是定義域在正整數（或其子集）的函數 我想我們應該不會認為『函數』跟『數』是同一個東西吧... 有些智慧是要花點努力才能看見的 常常...或者應該說 總是.... 任憑肉眼或不成熟的直覺，是看不清楚事物背後隱晦的真相的... 從無到有過程的整個展現，全盤討論...深入思考.... 才不會流於斷章取義.....才不會陷於只見樹而不見林的窘境 強聒不捨地...我還是重申一次... 在數學的世界裡，『思考比學習更重要——思考才是真正的學習！』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 只有從高觀點下俯瞰初等數學，那濛霧後面的真相才會益發清明.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 與聰明的waterworld0兄共勉之... --

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