抱歉 请原谅我的断章取义 @@~ ※ 引述《waterworld0 ()》之铭言： : ※ 引述《yonex (诸法皆空)》之铭言： : 其实我觉得, 0.9 9循环跟数学归纳法, 压根是不同领域的东西. : 一个领域的东西, 跑到另一边, 有时候不一定apply的. 数学是有整体的相容性的有机体 一个领域的东西跑到另一边，不能apply的....一定是哪里出了问题 基於理性的态度 要把问题讲出来 讲的清清楚楚的... : 因为有时候使用的前提根本就不同嘛! 我刚刚去google : 可是没有查到数学归纳法很严谨的证明, 因此这边可能暂时找不到证据反驳你, child其实在推倒n＝k+1这一步，并没有用到第k个骨牌去推 他是自己用外力（直觉）把n＝k+1这块骨牌推倒的... 违反了数学归纳法的原理，这就问题的所在.... : 但是以下就我的了解来说明这两个问题. : 数学一般而言, 分成continuous and discrete. : 中间有个叫做 concrete(continuous+discrete)的东西. : 我觉得0.9循环这个问题, 应该不是属於离散数学, 而是属於连续数学. : 在离散里面, 数学归纳法无疑的是成立的. 但是在极限的讨论上, 不一定是适用的. : 举个很简单的例子: 我们不妨考虑以下这两个数列 : A_n = <1 - 1/n>, B_n = <1 - 2/n> : 无论你带多少, A_n 很显然都大於 B_n. 但是当n越来越大呢? : 或者更明确的说 当n趋近於无穷大, 这时候A_n跟B_n的大小关系变成如何呢? : 这时候居然会变成两个相等耶! 启不怪哉? : 但是, 你用数学归纳法, 无论怎麽证明, 永远都会得到 A_n > B_n. : 这是天知地知你知我知的事情. 但是当n -> 无穷大 结果却不一样了. 这是怎麽一回事? limA_n＝limB_n＝1 与 A_n > B_n for all n 属於自然数 这是两码子事情：一个是极限 一个是不等式 that's all : 从这个简单的例子来说明就不难看出来了. : 极限可以不用是一个存在的东西, 因为他只是一个概念. 整个数学都是概念 都是不存在的 只是概念有深浅而已 但是...当一个人学问越深，浅的东西也会变深的 这是境界问题... : 或者用数学的语言来说, 他是一个bound. : 在数线上面, 一个数列越来越靠近这个bound的时候, 会越来越密, 但是始终不会等於. : 就像这世界上哪来无限多个9. 但是我们却敢断言 0.9, 9循环这个数等於1. : 其实我并不认为这是一个"数", 而是一个极限. 这个问题我回答过了 在14559篇 你可以参考看看... 其实 0.999999....这个数，可以定义为1 但是我们都同意 无论是公设或是定义 都是越少越好 0.999999....＝1是可以推导的（毫无神秘与不可知地，可参考苏格拉底一文） 那我们就毋须把这个数定义为1 破坏了定义的独立性应该尽量避免 : 因此我认为刚刚那个数学归纳法应该是不能使用的. : 极限是一种很抽象的东西, 高中刚开始学习的时候, 你会以为你自己懂了, : 但是到了大一, 你又会觉得你自己好像又不懂了, 以後再碰到, : 你又会觉得你自己好像懂了. 很多东西要讲数学都会变的很难, : 我觉得极限算是一种相当抽象的概念, 当然只讲计算是很容易的. : 就好比 lim ( A_n + B_n ) = lim A_n + lim B_n 这个是个简单的不得了的结果 : n->无穷大 : 简单到我高中的时候都觉得数学家写出那麽白痴的东西干啥, : 可是到了大二多看了一些数学又发现这个东西的重要性了. : 因此你说0.9, 9循环这个数字等不等於1 其实我建议你不妨考虑这个数列 : A_n = < 1 - (1/10)^n > 把他展开会变成 { 0.9, 0.99, 0.999, ---- } : 当n递增的时候, 会越来越接近1. 当然如果你硬要说 他永远都比1小当然也是可以的. : 但是无可否认的 : lim A_n 的确是等於1. : n->无穷大 : 或许书上跟我讲的不一样, 但是我还是想要重申, 就我的理解, 0.9 9循环的本身 : 并不是一个"具体的数字". : 认不认同我的看法, 就看你认不认同"< 1 - (1/10)^n >" 跟 "0.9, 9循环" : 是不是两个等价的命题了. 我当然不认同 一个是数列 一个是数 怎麽可能等价叙述 数列是定义域在正整数（或其子集）的函数 我想我们应该不会认为『函数』跟『数』是同一个东西吧... 有些智慧是要花点努力才能看见的 常常...或者应该说 总是.... 任凭肉眼或不成熟的直觉，是看不清楚事物背後隐晦的真相的... 从无到有过程的整个展现，全盘讨论...深入思考.... 才不会流於断章取义.....才不会陷於只见树而不见林的窘境 强聒不舍地...我还是重申一次... 在数学的世界里，『思考比学习更重要——思考才是真正的学习！』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 只有从高观点下俯瞰初等数学，那蒙雾後面的真相才会益发清明.... ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 与聪明的waterworld0兄共勉之... --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.73.234.238 ※ 编辑: yonex 来自: 203.73.234.238 (03/25 07:59)