: : p. 0.99999.....這個循環小數，究竟是不是恰好等於1，還是極限等於1 : : 還是簡直就是1....但不exact等於1？ : 這和dx(無窮小)的概念有一點點像 : 無窮小的概念是: : dx不等於0 但dx要多小就有多小 : 0.9999...這個數也可仿照上面 它有兩個特徵: : 1). 0.9999....要多接近1就多接近1 : 2). 0.9999....不等於1 child：各位老師， 0.99999.....這個循環小數， 究竟是不是恰好等於1，還是極限等於1，還是簡直就是1，但不exact等於1？ ---------------------------- aack： dx不等於0 但dx要多小就有多小... 0.9999...這個數也可仿照上面 它有兩個特徵 1). 0.9999....要多接近1就多接近1 2). 0.9999....不等於1 ---------------------------- waterworld0：是的，0.9999....＝1， 但是那個循環小數，本身就有極限的概念 ---------------------------- gwendless：0.9999.....這個數的『極限』等於 1 ---------------------------- child：老師們，我又要無禮了， 各位的意見...在我的critical viewpoint下並不完全相同， aack和gwendless老師認為該循環小數『極限』等於1 現在的渾沌在於： 0.999...這個值的『極限等於1』，意思就是『並非exactly等於1囉！』 雖然說要多近有多近啦～～～.... （好吧！我能暫時接受這個『要多近有多近』， 畢竟我只是個child，沒學過ε-δology） waterworld0老師說這個值exactly等於1，『但是有極限的概念？！』 就那句引號內的話，就請恕我無法接受了...... 我這個死小孩只想知道一個明確的答案：是1，或非1！。 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ aack和gwendless老師選擇『否』，waterworld0老師選擇『是』 （我假裝沒看到waterworld0老師後面多說的那句話） OK，現在問題的答案有所分歧了... 我要投給『非1』一票....但卻不是用aack和gwendless老師們的論調。 我要做一件大膽的事情！ _ 我將使用『數學歸納法』證明：0.999...＝0.9＜1 （不含等於） 只要我能證明此命題為真，根據三一律， 我就可以確切的回答 0.999...≠1 （也就是完全不等於） pf： 令 A_n 代表小數點後面有 n 個 9 且 此數小於1的敘述 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ i 當 n＝1時 0.9＜1 所以A_1成立 ii 假設 n＝k 成立，也就是假設 A_k 成立 0.9999......99 ＜1 成立 ｛ k個9 ｝ iii 則當 n＝k+1時 0.9999......999＜1 成立 ｛ k+1個9 ｝ _ 根據數學歸納法原理，對於所有自然數 n≧1，A_n成立，因此0.9＜1 Q.E.D. _ _ 證完0.9＜1，很快的我利用三一律，順理成章的得到0.9≠1 過程中我完全沒扯到極限，我討厭那個概念...太人工、匠氣味太重了 當然，這不只是因為我個人喜好與情緒的理由 我的答案裡面不要有極限！ 只想知道一個明確的答案：是1，或非1！ 因此我選擇了這條....自認最輕快而明亮的道路。 ------------------------ child：或許我錯了....但是你必須說服我！ （我的答案裡面不要有極限！只想知道一個明確的答案：是1，或非1！） ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 我是根據 kh749 老師所教的數學歸納法精神與程序.... （雖然他沒有回答：為何這個程序要叫數學歸納法！） yonex老師休息太久了，他上次整合性的答案只回答到第 j 題... 我雖然是個任性的小孩，但我不是只會動嘴巴那一種... 我做了一點事情.... --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 203.67.107.200 ※ 編輯: yonex 來自: 203.67.107.200 (03/22 07:49)