※ 引述《aack (喔)》之銘言： : ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之銘言： : : 莫名其妙看到 阿積不出來很難過 問問看 : : 圓的周長= 2pi R ---->怎麼積來的？ : 考慮極座標上一個半徑為a的圓r = a : 2π 2π |2π : 週長 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa : 0 0 |0 要用此積分得圓弧長值是可以 但是....今天如果要證明圓的週長＝2πr 用這極座標的積分去證明....基本上是倒果為因 因為極座標表達『圓弧線元素』是rdθ 這就是由圓的弧長公式所得到的..... 圓的弧長公式＝rθ （measure in radian） 極小的圓弧長就是自變量作為小的變化 （dθ） 所以用積分在極座標下來論證圓弧長公式是倒果為因的 要說明的應該是...圓的弧長公式為什麼是rθ？ （當θ＝2π時 自然就得到了圓的週長＝2πr） 首先 人類在古時候發現圓的周長和半徑呈現正比的線性關係（無數的經驗累積） P＝kr （P是圓周長 r是半徑 k就是那個線性的比例常數） 並且這個k經過測量後似乎是固定的（不會因為圓的大小而有所變動） k可以得到大約是6.283...左右的數字 問題是 怎麼知道 k 是固定的呢？ 搞不好有一天因為不同的圓而產生不同的值 這是不可能的...因為相似多邊型 對應邊長成比例（這可由幾何原本中得到證明） 而『所有的圓』都是相似的 根據相似性原理 圓的『周長比』會等於『半徑比』 這就得到了 k 必為定值 此值我們現在稱為2π 圓周長既然解決 部分弧長的公式也可以根據相似的比例原則得到 弧長 s＝rθ （θ is measure in radian） 積分中的『圓弧線元素』是rdθ就是根據弧長s＝rθ而得到的 用以證明圓周長公式絕對是倒果為因的 在這裡提一下此事 因為我記得好像很多人用這種方法證明圓周長公式 並且以為這樣子做是對的 另外 利用積分來證明圓面積公式＝πr^2 也同樣是倒果為因.... 講一點題外話 平常人們測量角度的表達使用度度量（measure in degree） 而不喜歡用徑度量（measure in radian） 因為度度量表達起來直觀，簡潔，等量分割圓為360度角， 容易使用圖像的聯想以粗估角度大小 而徑度量卻不然 他大小的表達是無理數的分割（2π的分解） 很不直觀 自古以來人類就懼怕無理數（即使到現在也是） 那麼為什麼數學喜歡徑度量而不喜歡度度量？ 弧長公式與扇型面積公式的表達較度度量為簡潔（s＝rθ A＝1/2θr^2） 這固然是原因 但還不夠充分...（度度量也做得到） 為什麼徑度量為成為...數學中表達角度的主流？ 主要原因還是因為以下的這個極限 sinθ lim ------- ＝1 這只有在θ在徑度量才是真確的...... θ->0 θ 而這個極限，卻是在高等數學中相當重要的....（它不是1....那就難過了） --

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