※ 引述《aack (喔)》之铭言： : ※ 引述《Eshow (No pain No gain)》之铭言： : : 莫名其妙看到 阿积不出来很难过 问问看 : : 圆的周长= 2pi R ---->怎麽积来的？ : 考虑极座标上一个半径为a的圆r = a : 2π 2π |2π : 周长 = ∫ ds = ∫ adθ = aθ| = 2πa : 0 0 |0 要用此积分得圆弧长值是可以 但是....今天如果要证明圆的周长＝2πr 用这极座标的积分去证明....基本上是倒果为因 因为极座标表达『圆弧线元素』是rdθ 这就是由圆的弧长公式所得到的..... 圆的弧长公式＝rθ （measure in radian） 极小的圆弧长就是自变量作为小的变化 （dθ） 所以用积分在极座标下来论证圆弧长公式是倒果为因的 要说明的应该是...圆的弧长公式为什麽是rθ？ （当θ＝2π时 自然就得到了圆的周长＝2πr） 首先 人类在古时候发现圆的周长和半径呈现正比的线性关系（无数的经验累积） P＝kr （P是圆周长 r是半径 k就是那个线性的比例常数） 并且这个k经过测量後似乎是固定的（不会因为圆的大小而有所变动） k可以得到大约是6.283...左右的数字 问题是 怎麽知道 k 是固定的呢？ 搞不好有一天因为不同的圆而产生不同的值 这是不可能的...因为相似多边型 对应边长成比例（这可由几何原本中得到证明） 而『所有的圆』都是相似的 根据相似性原理 圆的『周长比』会等於『半径比』 这就得到了 k 必为定值 此值我们现在称为2π 圆周长既然解决 部分弧长的公式也可以根据相似的比例原则得到 弧长 s＝rθ （θ is measure in radian） 积分中的『圆弧线元素』是rdθ就是根据弧长s＝rθ而得到的 用以证明圆周长公式绝对是倒果为因的 在这里提一下此事 因为我记得好像很多人用这种方法证明圆周长公式 并且以为这样子做是对的 另外 利用积分来证明圆面积公式＝πr^2 也同样是倒果为因.... 讲一点题外话 平常人们测量角度的表达使用度度量（measure in degree） 而不喜欢用径度量（measure in radian） 因为度度量表达起来直观，简洁，等量分割圆为360度角， 容易使用图像的联想以粗估角度大小 而径度量却不然 他大小的表达是无理数的分割（2π的分解） 很不直观 自古以来人类就惧怕无理数（即使到现在也是） 那麽为什麽数学喜欢径度量而不喜欢度度量？ 弧长公式与扇型面积公式的表达较度度量为简洁（s＝rθ A＝1/2θr^2） 这固然是原因 但还不够充分...（度度量也做得到） 为什麽径度量为成为...数学中表达角度的主流？ 主要原因还是因为以下的这个极限 sinθ lim ------- ＝1 这只有在θ在径度量才是真确的...... θ->0 θ 而这个极限，却是在高等数学中相当重要的....（它不是1....那就难过了） --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 203.73.203.174 ※ 编辑: yonex 来自: 203.73.203.174 (03/17 03:27)