※ 引述《jerrylau (keep it simple)》之銘言： : 標題: [問題] 算幾不等式為何必須限制R+ : 時間: Sun Mar 5 00:23:28 2006 : : 若a>0且b>0,則(a+b)/2>=根號ab : : 針對ab皆為正實數部分沒有問題 : 我要問的是為什麼不考慮a=b=0呢?? : 感謝回答 : : 推 beegirl:請問根號0有意義嗎？ 03/05 01:26 ^^^^^^^^^^^^^^^^√0當然有意義 我試著來回答你的問題好了 首先...算幾不等式來由是什麼？ 瞭解後問題就解決了大半了 算幾不等式源由於：『所有周長相同的矩形中，正方形的面積為最大』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ a＝0或b＝0，幾何平均數（面積項）為0，這件事情太顯然了 不等式的成立可以說是trivial（無聊），根本沒什麼好證明的... 也只有在a>0且b>0，這個不等式的現象才會"不這麼顯然" 才有探討與論證的餘地.... 數學家在陳訴定理時，就我觀察...至少有兩個奇異的偏好 1.話不喜歡講太囉唆 2.不講『無聊話』！ 並且考慮a＝0或b＝0時，不等式的幾何意義會喪失 『所有周長相同的矩形中，正方形的面積為最大』這個陳訴 同義於...『同周長的矩形，兩邊的差距越小，其面積就越大』 要深究的就是幾何裡的面積現象，沒有長度又何來面積呢？ 以下附上算幾不等式的證明： 設a>0且b>0，(a+b)/2>=√（ab） pf:此證明可由配方法輕易得到 (a+b) （√a －√b）^2 ----- －√（ab）＝ ----------------->＝0 2 2 若且唯若 a＝b，等號成立 Q.E.D. OK！如果學生是國中生，講這樣就夠了 如果學生是高中生.... 我個人認為無論如何都要論證廣義的算幾不等式（使用數學歸納法） 這是一個數學歸納法非常好的練習範例 prove a_1+a_2+a_3+........+a_n ------------------------- >＝ （a_1×a_2×......a_n）^(1/n） n for n屬於自然數.... --

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