※ 引述《jerrylau (keep it simple)》之铭言： : 标题: [问题] 算几不等式为何必须限制R+ : 时间: Sun Mar 5 00:23:28 2006 : : 若a>0且b>0,则(a+b)/2>=根号ab : : 针对ab皆为正实数部分没有问题 : 我要问的是为什麽不考虑a=b=0呢?? : 感谢回答 : : 推 beegirl:请问根号0有意义吗？ 03/05 01:26 ^^^^^^^^^^^^^^^^√0当然有意义 我试着来回答你的问题好了 首先...算几不等式来由是什麽？ 了解後问题就解决了大半了 算几不等式源由於：『所有周长相同的矩形中，正方形的面积为最大』 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ a＝0或b＝0，几何平均数（面积项）为0，这件事情太显然了 不等式的成立可以说是trivial（无聊），根本没什麽好证明的... 也只有在a>0且b>0，这个不等式的现象才会"不这麽显然" 才有探讨与论证的余地.... 数学家在陈诉定理时，就我观察...至少有两个奇异的偏好 1.话不喜欢讲太罗唆 2.不讲『无聊话』！ 并且考虑a＝0或b＝0时，不等式的几何意义会丧失 『所有周长相同的矩形中，正方形的面积为最大』这个陈诉 同义於...『同周长的矩形，两边的差距越小，其面积就越大』 要深究的就是几何里的面积现象，没有长度又何来面积呢？ 以下附上算几不等式的证明： 设a>0且b>0，(a+b)/2>=√（ab） pf:此证明可由配方法轻易得到 (a+b) （√a －√b）^2 ----- －√（ab）＝ ----------------->＝0 2 2 若且唯若 a＝b，等号成立 Q.E.D. OK！如果学生是国中生，讲这样就够了 如果学生是高中生.... 我个人认为无论如何都要论证广义的算几不等式（使用数学归纳法） 这是一个数学归纳法非常好的练习范例 prove a_1+a_2+a_3+........+a_n ------------------------- >＝ （a_1×a_2×......a_n）^(1/n） n for n属於自然数.... --

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