※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之銘言： : 想問一個關於反函數的問題 : 我知道反函數的定義 也就是原本函數的定義域為另一函數的值域 原本函數的值域變為 : 新函數的定義域 則兩函數互為反函數 這樣描述還會包括進很多不是互相為反函數的組合 f : R -> R f(x) = x+1 g : R -> R g(x) = x+2 這樣定的話 f 的值域跟定義域都是 R, g 也是, 他們不互為反函數 重要的是反函數要把原本函數送過去的東西再送回來, 讓他們兩個合成後是 identity : 請問…假如一函數f(x)=y=x-1 : 則f^-1(y)=x=y+1=g(y)以及f^-1(x)=y=x+1=g(x) : 這兩個到底哪個才是f(x)的反函數 印象中會因習慣問題講自變數以x表示 然後f^-1(y) : =x=y+1=g(y)改為f^-1(x)=y=x+1=g(x)然後才會跟f(x)對稱 : 但第一張圖突然又說g(y)是f(x)的反函數 那g(x)又是什麼… 1. 函數裡面的變數是 "dummy variable", 不論我們用什麼變數, 他們表示的都是 同一個函數. 令 f(x) = x^2 g(t) = t^2 h(u) = u^2 r(a) = a^2 不僅 f, g, h, r 相等, 而且 f(x) = x^2 跟 f(t) = t^2 跟 f(z) = z^2 通通一樣 函數就是把一個東西映射到另一個東西, 而 f(x) = x+1 這種記號的意思就是, 對於所有在定義域中的物件, v, 我們把它關聯到對應域中的物件 v+1 其中我們應該要知道在對應域中 "v+1" 要怎麼解讀 2. 文章中符號有混淆的地方 f(x) = x-1 f(t) = t-1 f(z) = z-1 這裡的 x, t, z 是 dummy variable, 用來代表這個函數要把什麼數字 送到什麼數字, 用什麼符號都一樣 "令變數 y = f(x), f(x) = x-1" 這句話想表達的是, 在以下環境中, 我們希望 y 是 x 的函數. 雖然我們只寫一個字母 y, 但是心中要把他想像成 f(x), 想像成 x-1 之類的算式 而當我們寫 g(y) = y+1, 這裡的 y 跟上面是毫無關聯的, 他只是在表示 g 這個函數是把一個數字 v 送到 v+1, 這個 y 是用來描述 g 這個函數的 dummy variable, 不是 y = f(x) 的 y 3. 若 y = f(x) = x-1 則 f^{-1}(y) = y+1 到此為止, 沒有 f^{-1}(x) = y = x-1 這個等式 我們知道 f 會把 x 送到 x-1, 也就是把 5 送到 4, 把 123 送到 122 而 f 的反函數會把一個數 y 送到 y+1, 也就是 7 送到 8, 把 255 送到 256 f^{-1}(y) = y+1, 我們可以任意改變變數, 不影響 "把什麼數字送到什麼數字": f^{-1}(w) = w+1 f^{-1}(t) = t+1 他們都是一樣的. 因此 f^{-1}(x) = x+1 才會代表同一個函數 假如我們認定了符號 y := x-1, 那麼顯然 f^{-1}(x) = x+1 不等於 y : 第二張圖說f^-1(y)為反函數 讓我覺得很矛盾 f^-1(y)不是只是f(x)移項的結果嗎 然 : 後要把y換成x 也就是f^-1(x) 這個東西才是反函數吧… : https://i.imgur.com/ueAMwrL.jpg : https://i.imgur.com/fD8DKfi.jpg 符號上習慣讓 "f^{-1}(y)" 指稱 f(x) 的反函數罷了 函數重要的是輸入與輸出之間的關係, 中間用什麼方式來描述都不影響的 也有的介紹到集合論的書會用數對的集合來建構函數: 把 f : N -> N f(x) = x+7 這個函數, 用集合 {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), ...} 來表示 這樣我們知道輸入是 2 時, 也能輸出要是 9 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 165.124.144.106 ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/trans_math/M.1513445249.A.3B1.html 要先注意, 把函數連結到平面也是我們自己訂的. 例如我們說假如對一個函數 f(t) = ..., 在 t = x 的時候值是 y (= f(x)), 那我們就把點 (x,y) 畫在平面上. 那這樣變換 dummy variable 對作圖有沒有影響? 並沒有, 因為還是同一個函數, 但是我們可以改變把它畫在平面上的畫法. 假如每個函數我們固定以輸入為 x 座標, 輸出為 y 座標, 那毫無疑問的一個函數 跟他的反函數的圖形會沿著 y = x 這條直線對稱, 這是因為反函數定義就是送過去 再送回來不會變: 兩個函數 f, g 互為反函數(加一些範圍適當什麼的條件), 那 g(f(u)) = u 對所有適當的 u f(g(v)) = v 對所有適當的 v 這兩個函數畫成圖會怎麼樣呢? 假設 (x,y) 在 f 的圖形上, 也就是說 y = f(x), 那我們知道 x = g(y). 因此 (y,x) 在 g 的圖形上. 反過來說也 成立, 因此他們圖形沿 y = x 對稱. 但我們可以用不同的方法來畫圖. 對於以下的式子 y = f(x) x = f^{-1}(y) 假如我們說: 讓我們畫圖時, 這式子裡的 x 就代表 x 座標, y 就代表 y 座標, 那當然也可以(向你舉的那個 x = f^{-1}(y) = y-1 的例子). 而這個時候他們 畫出來的圖形就是同一條了: (x,y) 在 f 的圖形上 <=> y = f(x) <=> x = f^{-1}(y) <=> (x,y) 在 f^{-1} 描述的曲線上 那這個時候 dummy variable 可不可以變? 可不可以寫 z = f^{-1}(x), w = f^{-1}(t)? 變 dummy variable 的話函數本身當然不會變, 但我們前面說的 x 代表 x 座標 y 代表 y 座標這個連結就兜不起來了. 其實這種用法在微積分裡也滿常見的. 例如我們描述一條 x-y 平面上的直線 L 也可以描述說 L 就是滿足 x - y + 1 = 0 的點的集合, 要把它看成函數的時候 可以把 x 看成 y 的函數也可以把 y 看成 x 的函數. 不論哪種看法我們想描述 的是同一條線. ※ 編輯: suhorng (165.124.144.106), 12/18/2017 08:56:33